뤼드베리상수

뤼드베리상수는 전자기력으로 결합된 원자구조의 양자역학적인 효과를 나타내는 자연의 기본 물리량이다. 뤼드베리(J. Rydberg, 1854-1919)가 수소 원자를 연구하여 도입하였으나 일반적인 원자구조를 기술하는 데도 사용된다. 그 값은 @@NAMATH_DISPLAY@@R_\infty = 1.097373156853 \times 10^7 \,\text{m}^{-1}@@NAMATH_DISPLAY@@이며, 마지막 두 자리 숫자의 오차는 @@NAMATH_INLINE@@\pm@@NAMATH_INLINE@@55이다.

현재 물리의 기본 상수 가운데 가장 정확하게 측정할 수 있는 상수이다.

뤼드베리 공식은 수소 원자에서 방출하는 빛의 파장 @@NAMATH_INLINE@@\lambda@@NAMATH_INLINE@@의 규칙을 주며

@@NAMATH_DISPLAY@@\frac{1}{\lambda} = R_\infty \left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)@@NAMATH_DISPLAY@@와 같다. 여기서 @@NAMATH_INLINE@@n_1,n_2@@NAMATH_INLINE@@는 어떤 정수이다. 이 식은 그동안 알려진 수소 원자의 선스펙트럼을 통해 뤼드베리가 종합한 경험적인 식이었다.

이후 양자역학을 통해 빛이 양자화되어있다는 것을 알게 되어, 이 파장 @@NAMATH_INLINE@@\lambda@@NAMATH_INLINE@@는 주양자수가 @@NAMATH_INLINE@@n_2@@NAMATH_INLINE@@인 들뜬상태에서 @@NAMATH_INLINE@@n_1@@NAMATH_INLINE@@인 상태로 전이하는 전자가 방출하는 빛의 파장이라는 것을 이해하게 된다. @@NAMATH_DISPLAY@@\frac{hc}{\lambda} = E_{n_2} - E_{n_1} @@NAMATH_DISPLAY@@기호 @@NAMATH_INLINE@@ R_\infty@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@n_2=\infty@@NAMATH_INLINE@@에서 @@NAMATH_INLINE@@n_1=1@@NAMATH_INLINE@@인 바닥상태로 전이하는 경우의 값을 의미한다.

또한, 원자구조를 이해하고 원자의 에너지준위를 이해할 수 있게 되었으므로 더 근본적인 양으로 나타낼 수 있게 되었다. 보어의 원자모형에 따라 양자화 조건 @@NAMATH_DISPLAY@@2 \pi r m v = n h @@NAMATH_DISPLAY@@ 을 고려하자. 여기에서 @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@는 어떤 정수, @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@은 전자의 질량, @@NAMATH_INLINE@@h@@NAMATH_INLINE@@는 플랑크상수이다. 그러면 쿨롱 퍼텐셜 @@NAMATH_DISPLAY@@V(r) = - \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 r} @@NAMATH_DISPLAY@@의 영향을 받는 양성자와 전자의 에너지준위를 계산할 수 있고 전이 에너지를 구하면 뤼드베리상수를 @@NAMATH_DISPLAY@@R_\infty = \frac{m e^4}{8 {\varepsilon_0}^2 h^3 c} @@NAMATH_DISPLAY@@로 표시할 수 있다. 여기에서 @@NAMATH_INLINE@@e@@NAMATH_INLINE@@는 기본 전하, @@NAMATH_INLINE@@\varepsilon_0@@NAMATH_INLINE@@는 진공 유전율이며 @@NAMATH_INLINE@@c@@NAMATH_INLINE@@는 진공 중 광속이다.