관성질량

관성질량은 자신의 운동 상태의 변화에 대해 물체가 저항하는 정도를 나타내는 물체의 질량이다.

관성질량은 물체에 힘을 가하여 그 힘에 의한 물체의 가속도를 측정하여 정할 수 있다. 같은 크기의 힘이 작용할 때, 관성질량이 작은 물체는 큰 물체에 비해 더욱 많이 가속된다. 질량이 큰 물체가 관성이 크다고 말한다.

뉴턴의 제이법칙을 따르면, 어떤 물체가 다음의 운동방정식을 만족하면 그 물체의 질량을 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@ 이라고 할 수 있다. @@NAMATH_DISPLAY@@F=ma.@@NAMATH_DISPLAY@@여기서 @@NAMATH_INLINE@@F@@NAMATH_INLINE@@는 물체에 작용하는 힘이며, @@NAMATH_INLINE@@a@@NAMATH_INLINE@@는 물체의 가속도이다. 이 방정식은 질량이 물체의 관성과 어떤 관계를 갖는지를 잘 보여준다.

질량이 다른 두 물체를 고려하자. 동일한 힘을 가할 때, 질량이 큰 물체는 작은 가속도를 얻고, 질량이 작은 물체는 큰 가속도를 얻게 될 것이다. 우리는 힘을 가해 운동 상태를 변화시키려 할 때 질량이 큰 물체가 더 큰 "저항"을 한다고 말할 것이다.

두 물체에 동일한 힘을 가하는 대신에, 뉴턴의 제삼법칙을 활용할 수도 있다. 관성질량이 각각 @@NAMATH_INLINE@@m_1@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@m_2@@NAMATH_INLINE@@로 표시되는 두 물체를 고려하자. 두 물체를 다른 모든 물리적인 영향으로부터 고립시키자. 그러면 두 물체에 작용하는 힘은 서로의 상호작용밖에 없을 것이다. @@NAMATH_INLINE@@m_2@@NAMATH_INLINE@@가 @@NAMATH_INLINE@@m_1@@NAMATH_INLINE@@에 작용하는 힘을 @@NAMATH_INLINE@@{F_{12}}@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@m_1@@NAMATH_INLINE@@이 @@NAMATH_INLINE@@m_2@@NAMATH_INLINE@@에 작용하는 힘을 @@NAMATH_INLINE@@F_{21}@@NAMATH_INLINE@@이라고 표시하자. 뉴턴의 제이법칙에 의해 다음 식들이 성립한다: @@NAMATH_DISPLAY@@F_{12} = m_1 a_1,@@NAMATH_DISPLAY@@@@NAMATH_DISPLAY@@F_{21} = m_2 a_2.@@NAMATH_DISPLAY@@여기서 @@NAMATH_INLINE@@a_1@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@{a_2}@@NAMATH_INLINE@@는 각각 @@NAMATH_INLINE@@m_1@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@m_2@@NAMATH_INLINE@@의 가속도를 나타낸다. 이 가속도가 영이 아니어서, 물체 사이에 작용하는 힘도 영이 아니라고 하자. 두 물체가 충돌하는 경우가 될 것이다. 그렇다면 뉴턴의 제삼법칙에 의해 다음 식이 성립한다. @@NAMATH_DISPLAY@@F_{12} = -F_{21}.@@NAMATH_DISPLAY@@

따라서, 다음 식이 또한 성립한다. @@NAMATH_DISPLAY@@m_1 = m_2 \frac{|a_2|}{|a_1|}.@@NAMATH_DISPLAY@@@@NAMATH_INLINE@@|a_1|@@NAMATH_INLINE@@이 영이 아니면 이 비 값은 잘 정의되며, @@NAMATH_INLINE@@m_2@@NAMATH_INLINE@@를 기준값으로 삼아 @@NAMATH_INLINE@@m_1@@NAMATH_INLINE@@을 측정할 수 있다. 이런 방식으로 모든 물체를 @@NAMATH_INLINE@@m_2@@NAMATH_INLINE@@와 충돌시켜 가속도를 측정함으로써 @@NAMATH_INLINE@@m_2@@NAMATH_INLINE@@를 기준으로 한 @@NAMATH_INLINE@@m_1@@NAMATH_INLINE@@을 결정할 수 있다.

관성질량은 물체의 운동량(@@NAMATH_INLINE@@p@@NAMATH_INLINE@@)과 운동에너지(@@NAMATH_INLINE@@K@@NAMATH_INLINE@@)를 속도(@@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@)와 관계 짓는다. @@NAMATH_DISPLAY@@p=mv,@@NAMATH_DISPLAY@@ @@NAMATH_DISPLAY@@K = \frac{1}{2} m v^2.@@NAMATH_DISPLAY@@

중력질량은 한 물체가 다른 물체와 중력 상호작용할 때 작용하는 만유인력의 크기를 결정하는 각 물체들의 속성이다. 관성질량과 중력질량이 개념적으로는 구별이 되지만, 어떤 실험도 이 두 양이 다른 값이라는 것을 분명하게 보이지 못했다. 또한, 고전물리학 이론도 이 두 질량이 서로 같아야 한다는 설득력 있는 이유를 제시하지 못한다.

아인슈타인(A. Einstein, 1879-1955)은 관성질량과 중력질량이 동일하다는 가정에서 출발하여 일반상대론을 전개했다. 이 가정을 때때로 "갈릴레이 등가원리(Galilean equivalence principle)", 혹은 "약한 등가원리(weak equivalence principle)"라고 부른다. 이 원리의 가장 중요한 결과는 자유낙하하는 물체에 적용된다. 관성질량과 중력질량이 각각 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@M@@NAMATH_INLINE@@인 물체를 고려하자. 자유낙하하는 동안 이 물체에 작용하는 힘이 오직 중력장(@@NAMATH_INLINE@@g@@NAMATH_INLINE@@)에서 온다면, 뉴턴의 제이법칙과 중력법칙을 결합하여 물체의 가속도를 얻을 수 있다: @@NAMATH_DISPLAY@@a = \frac{M}{m} g.@@NAMATH_DISPLAY@@

이것은 중력질량과 관성질량의 비가 어떤 상수 @@NAMATH_INLINE@@K@@NAMATH_INLINE@@가 되기 위한 필요충분조건이,‘자유낙하하는 모든 물체의 가속도가 질량에 무관하게 동일하다’인 것을 의미한다. 이 조건을 "자유낙하의 보편성(universality of free-fall)"이라고 부른다. 비 값인 @@NAMATH_INLINE@@K@@NAMATH_INLINE@@가 상수이면 단위를 적절히 정의하여 이 값이 1이 되게 할 수 있다.

자유낙하의 보편성을 보이기 위한 실험은 갈릴레이(G. Galillei, 1564-1642)에 의해 처음으로 시도되었다. 갈릴레이가 피사의 사탑에서 이 실험을 시도했다는 설도 있으나, 실제로는 경사면을 이용한 실험을 했을 것으로 알려지고 있다. 좀 더 정밀한 결과는 1889년 헝가리의 물리학자 이외트뵈스(L. Eötvös, 1848-1919)에 의해 얻어졌다. 2008년 현재 이 원리는 10^-12의 정밀도에서 성립하는 것으로 알려져 있다.