연산

요약 수, 함수 등에서 일정한 법칙에 따라 결과를 내는 조작으로 일반적으로 어떤 집합의 원소 사이에 일정한 조작을 적용하여 다른 원소를 이끌어 내는 것을 말하며, 기본법칙으로는 교환법칙·결합법칙·분배법칙이 있다.

일반적으로 어떤 의 원소 사이에 일정한 조작을 적용하여 다른 원소를 이끌어 내는 것을 말한다. 즉 집합 S에 속하는 임의의 두 원소 a, b의 (a, b)에 S의 어떤 원소 c를 대응시키는 것 '(a, b) →c'를 연산이라고 한다. 이것을 연산기호 ⊙를 사용하여 나타내면 a⊙b=c이다.

연산기호란 연산에서 사용하는 덧셈기호 ＋, 뺄셈기호 -­, 곱셈기호 ×, 나눗셈기호 ÷, 등호 =, 제곱근풀이의 기호 √ 등을 말한다. 연산 가운데 특히 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈을 총칭하여 사칙연산이라 한다.

한편 집합 S에 어떤 연산 ⊙이 정의되어 있을 때, S에 속하는 임의의 두 원소 a, b에 대하여 a⊙b가 S에 속하면 집합 S는 연산 ⊙에 대하여 '닫혀 있다'고 한다. 예를 들면 자연수의 집합은 덧셈·곱셈에 대하여 닫혀 있고 뺄셈·나눗셈에 대하여 닫혀 있지 않으며, 정수의 집합은 덧셈·뺄셈·곱셈에 대하여 닫혀 있고 나눗셈에 대하여 닫혀 있지 않다. 또 유리수의 집합과 실수의 집합은 사칙연산에 대하여 모두 닫혀 있다(나눗셈의 경우 0으로 나누는 것은 제외).

연산의 기본법칙으로는 ··이 있다. 실수 전체의 집합에서 덧셈·곱셈에 대하여 다음의 연산법칙이 성립한다. ① 교환법칙 a+b=b+a, a×b=b×a ② 결합법칙 (a+b)+c=a+(b+c), (a×b)×c=a×(b×c) ③ 분배법칙 a×(b+c)=(a×b)+(a×c), (a+b)×c=(a×c)+(b×c).

또 일반적으로 집합 S가 연산 ⊙와 *에 대하여 닫혀 있을 때 S에 속하는 임의의 세 원소 a, b, c에 대하여 다음과 같이 정의한다. ① a⊙b=b⊙a◆S는 ⊙에 대한 교환법칙이 성립한다. ② (a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙c)◆S는 ⊙에 대한 결합법칙이 성립한다. ③ a⊙(b*c)=(a⊙b)*(a⊙c)◆S는 *에 대한 ⊙의 분배법칙이 성립한다.

집합의 연산에서는 임의의 세 집합 A, B, C에 대하여 교환법칙 A∪B=B∪A, A∩B=B∩A, 결합법칙 (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C), 분배법칙 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C), A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)가 성립한다. 또 전체집합을 U라 할 때 임의의 부분집합 A, B에 대하여 ① A∪A★=U, A∩A★=Ø ② (A★)★ = A ③U★=Ø, Ø★ = U ④ A-B=A∩B★이 성립한다.

유리연산(더하기, 빼기, 곱하기, 나누기의 4가지 연산)에 대하여 거듭제곱, 거듭제곱근의 연산이 도입되었으며, 를 정의할 때 독립변수에 종속변수를 대응시키는 것도 일종의 연산이다.

연산은 컴퓨터에서도 쓰이는 용어로 산술연산과 논리연산이 있다. 산술연산은 ＋, - ­, ×, ÷ 등의 산술연산자를 이용하여 산술규칙에 따라 결과를 얻는 것이고, 논리연산은 논리곱(and), 논리합(or), 부정(not) 등의 논리연산자를 이용하여 논리적 사고방식에 따라 결과를 얻는 것이다. 운산(運算)이라고도 한다.