페아노곡선

요약 유클리드평면 E² 위의 연속곡선, 즉 선분 I＝[0,1]에서 E²에로의 연속사상 f에 의한 상 f(I)로서, 정사각형 전체를 메우는 것과 같은 연속곡선을 말한다.

G.페아노가 처음으로 발견하였으며, D.힐베르트는 그것을 다음과 같이 간략화하여 설명하였다. 정사각형 및 을 4등분하여 D_i와 T_i를 대응시킨다. 다음 각 D_i를 4등분하고 D_ij를 T_ij에 대응시켜(j＝0,1,2,3) 같은 조작을 되풀이 한다.

정사각형의 열D_i⊃D_ij⊃D_ijk⊃…에 대해 오직 하나의 공통점 p_ijk…가 정해지는데, 이 점을 선분열 T_i⊃T_ij⊃T_ijk⊃…의 공통점 t_ijk…에 대응시킨다. 대응 p_ijk… → t_ijk…는 선분 ［0,1］에서 정사각형 D 위로의 연속사상이 되고, 이 연속곡선은 2중점·3중점·4중점을 가진다. 다중점의 은 연속의 농도를 가지며, 정사각형 내에서 조밀한 집합을 이룬다.