가감법

요약 연립방정식을 푸는 방법으로, 각 방정식에 적절한 상수를 곱한 다음 방정식끼리 더하거나 빼서 미지수를 소거해 가며 방정식의 해를 구하는 방법이다.

가감법이라고도 한다. 주어진 두 에 적당한 수를 각각 곱한 다음 더하거나 빼어서 한 미지수를 소거하여 해를 구하는 방법이다. 이를테면 다음의 연립방정식을 풀어보자.

3x+2y=13…①
5x－3y=9 …②

이 연립방정식을 풀려면, 먼저 양변에서 y를 소거하기 위하여 ①×3, ②×2를 한다.

9x＋6y=39 …③
10x－6y=18…④

여기서 ③과 ④를 더하면 19x=57이므로, x=3이 된다. 이것을 다시 ①에 하면,

3×3+2y=13…①
2y=13－9  …②

이므로 y=2가 된다. 따라서 구하는 해는 x=3, y=2이다.

알기 쉬운 설명

다음과 같은 연립방정식의 해법을 생각해보자.

x+y=3…①
x-y=-1…②

연립방정식의 두 미지수 x, y 중 하나를 소거하면 해결이 쉬워지므로, 미지수 하나를 소거하기 위해 다음과 같이 두 방정식을 나란히 더한다.

두 식을 더하니 y가 소거되어 x의 값을 구할 수 있다. 이제 x=1을 ①번 식인 x+y=3에 대입해보면, y=2임을 구할 수 있다. 이와 같이 연립방정식의 미지수를 소거하기 위해 식들을 더하거나 빼서 그 해를 구하는 방법을 가감법이라 한다.

계수를 맞춰야 하는 경우

단순히 더하고 빼는 것으로 미지수가 소거되지 않는 경우에는 주어진 방정식들에 적당한 수를 곱한 뒤 가감법을 사용한다. 다음과 같이 주어진 연립방정식을 이러한 방법으로 풀어보자.

x-3y=0 …①
3x-2y=7 …②

두 식을 단순히 빼거나 더하는 것으로는 x, y 중 어느것도 소거되지 않는다. 미지수가 소거되려면 두 연립방정식에 같은 절대값을 가진 계수가 있는 미지수가 있어야 하기 때문이다. 다음과 같이 ①번 방정식 x-3y=0의 양변에 3을 곱하여 x의 계수의 절대값을 ②식과 같도록 맞춰준다. (양변에 같은 값을 곱하여 얻은 방정식이므로 원래의 해 그대로 변하지 않는 동일한 방정식이 된다.)

이제 양변에 3을 곱한 ①식과 ②식을 빼서 미지수를 소거시킬 수 있다. 

x가 소거되고 y의 값을 얻을 수 있다. y=1을 원래의 x-3y=0 …①에 대입하면 x=3임을 알 수 있다.

두 식을 모두 변형해야 하는 경우

두 식을 모두 변형하여 가감법을 적용해야 하는 다음과 같은 경우도 있다.

2x+3y=7 …①
5x-2y=8 …②

x항을 소거하기 위해서 ①, ②번식의 x항의 계수의 절대값을 같도록 변형해야 한다. 아래와 같이 ①번식의 양변에 5를 곱하고 ②번식의 양변에 2를 곱하면 x의 계수가 둘 다 10으로 같아지게 된다.

x를 소거하여 y의 값이 1임을 알 수 있고 원래 식에 y=1을 대입하여 x=2임을 알 수 있다.