허수

요약 실수가 아닌 복소수. 순허수의 경우는 제곱하여 음수가 된다.

실계수(實係數)의 이차 ax²+bx+c=0은 그 D=b²-4ac가 음이 아닌 때에 한하여, 의 범위에서 근(해)을 가진다. 판별식이 음이라면 실계수의 은 (實根)을 가지지 않는다.

예를 들어 방정식 x²+1=0 의 해 x는 제곱이 -1, 즉 음수가 된다. 이러한 x는 형식적으로는 ±√(-1)로 표시할 수 있고, 이것은 실수가 아니다. 그래서 새로운 수 i=√(-1)를 도입하여 이것을 허수단위(虛數單位)라고 한다.

또 실수 a, b와 허수단위 i로서 a+bi인 형식으로 나타내지는 수를 일반적으로 라고 한다. 계산할 때는 i를 마치 문자와 같이 보고 계산하여 i²이 나타나면 그것을 -1로 바꾸는 규칙에 따라서 계산한다. a+bi에서, b=0일 때, 이것은 실수 a와 동일하다. 한편, a+bi에서 a=0일 때, 즉 허수부만 남은 경우는 (純虛數)라고 한다.