행렬식

요약 G.W.라이프니츠가 연립방정식의 해법의 연구에서 고안한 것으로, 대수학에서 n형과 n열의 정방행렬 A와 관련된 식을 일컫는다.

G.W.라이프니츠가 의 해법의 연구에서 '행렬식'을 생각해 냈다는 사실이 1693년 로피탈에게 보내는 라이프니츠의 서신 내용에서 밝혀졌다. 이것은 현재 널리 사용되고 있는 행렬식을 처음으로 규정한 것으로 볼 수 있다. 참고로 이보다 먼저 동양에서 행렬식의 방법이 사용된 적이 있다. 지금 n차인 (정방행렬)



에서 각각의 행·열에 대해 1개의 씩 취한 곱 a_1α a_2β…a_nλ에 ±부호를
붙여 합한 

Σ ± α_1α α_2β  … α_nλ

를 n²개의 수의 행렬식이라고 하며,



과 같이 나타낸다. n을 차수, 각각의 a_ik를 원소라고 하며

  

가 짝순열[偶順列]이면 ＋, 홀순열[奇順列]이면 －부호를 매긴다.
이를테면






이 된다.

행렬식은 다음의 과정을 거쳐서 계산을 한다. ① 행렬식 D의 어떤 행(열)의 각 원소에 동일한 수 t를 곱하면 행렬식은 tD 가 된다. ② D의 두 임의의 행 또는 열을 바꿔 넣으면 －D가 된다. ③ 하나의 행(열)에 t를 곱하여 다른 행(열)에 더하여도 행렬식의 값은 변하지 않는다. ④ 행과 열을 바꿔도 행렬식의 값은 변하지 않는다. ⑤ D의 i행(열)이 a_ik=a_ik'＋a_ik′(k=1,2,…,n)이고, D의 a_ik 대신 a_ik' 또는 a_ik′로 놓은 행렬식을 D',D′라고 하면 D=D'＋D′가 된다. 이상의 행렬식의 계산방법은 행렬식의 주된 성질이 임의의 한 행(열)에 대하여 동차일차식(同次一次式)이기 때문이다.