푸리에급수

요약 직교좌표계에 의한 함수의 급수 전개. 임의의 주기함수를 삼각함수로 구성되는 급수로 전개한 것을 말한다.

임의의 를 로 구성되는 급수로써 표현하는 것으로 구간 [－π, π]에서 주어진 주기함수 f(x)는 다음과 같은 삼각급수로 전개할 수 있다.

     

이와 같은 전개가 가능하다고 가정할 때, f(x)가 적분 가능하고 급수의 항별적분(項別積分)이 가능하면 계수 a_n, b_n을 정할 수 있다. 이 식의 양변을 적분하면

  

이 된다. 또 양변에 cos nx, sin nx 를 곱한 후 적분하면

   

을 얻는다. 이 결과는 다음 성질을 이용하면 쉽게 보일 수 있다.

  
  
  
  

그러므로 계수 a_n, b_n은 다음과 같다.

   
  

따라서 주기함수 f(x)가 적분 가능하면 위 식에 의하여 a_n, b_n을 구하여, 이것을 계수로 하는 푸리에급수로 표현할 수 있다. 하지만 구한 푸리에급수가 수렴하는지, 그리고 그 수렴값이 원래의 함수값과 같은지에 대한 문제가 생긴다. 이 문제는 직교함수계의 정규화(正規化)와 관련하여 연구되고 있다.

수학적으로 주기가 다른 몇 개의 을 합성한 것을 순환 변동의 모델로 고려할 수 있다. 이러한 관점에서 하나의 순환 운동이 주어졌을 때 이것을 몇 개의 단진동으로 분해하는 조작을 푸리에해석 또는 조화해석(調和解析)이라고 한다.