텐서

요약 벡터의 개념을 확장한 기하학적인 양이다. 물리 현상을 기술하기 위해 도입한 좌표계에는 무관계한 공간 또는 도형의 성질을 끝까지 추구해야 하기 때문에 이를 위해 만들어진 일반화된 좌표계이다.

텐서의 어원은 탄성변형(彈性變形)의 변형력(應力)의 일종인 (張力)의 영어명 ‘tension’이다. 밀도가 균일한 구상탄성체(球狀彈性體)에 한 방향의 장력을 작용시키면 변형하여 타원체 ∑a_ijx_ix_j＝c(x_i 등은 3차원공간 좌표, c는 상수) 가 되고 9개의 계수 a_ij가 하나의 텐서의 성분이 되는데, 이는 변형력 그 자체가 텐서량이기 때문이다.

텐서의 개념은 수학, 특히 물리학에서 중요한 의미를 가진다. 수학 특히 에서는 그 연구의 편의상 좌표(기본 벡터)라는 개념을 사용한다. 그러나 연구 목적은 어디까지나 편의적인 것에 지나지 않는다. 따라서 도입한 좌표계에는 무관계한 공간 또는 도형의 성질을 끝까지 추구해야만 한다.

물리학에서도 여러 가지 관측계(觀測系)를 사용한다. 그러나 물리학적 법칙이라고 하는 것은 개개의 관측계와는 무관계한 것이어야 한다. 그런데 어떤 벡터의 성분이 어떤 기본 벡터에 관하여 0이라고 하자. 예를 들어 T^i'_j＝0이라고 하자. 그렇다면 다른 어떤 기본 벡터에 대해서도 T^i'_j＝0이어야 하며, 이 법칙은 모든 기본 벡터에 대해서도 성립한다. 또한, 텐서의 상등도 Aⁱ_jk=Bⁱ_jk는 Aⁱ_jk－Bⁱ_jk=0으로 쓸 수 있으므로 기본 벡터를 취하는 방식에는 무관계하다.

미분기하학이나 등에서의 법칙은 모두 이 형식으로 표현되어 있다. 예를 들면 ‘전자기장의 기초방정식(맥스웰방정식)은 로런츠변환에 대해서 불변인 형식으로서는 텐서방정식으로 나타내지며, 아인슈타인의 중력장(重力場)의 법칙은 리치의 텐서＝0이라는 형식으로 표현된다’는 것 등이다.