측지선

요약 공간의 2점을 잇는 곡선 중에서 거리가 짧은 것을 말하는데, 유클리드공간에서는 직선, 구면(球面) 위에서는 대원(大圓)의 호(弧)가 측지선이다. 즉, 공간의 곡면 위에 곡선 C가 있어, C 위의 충분히 가까운 임의의 2점 P, Q에 대하여, 이 곡면 위에서 P, Q를 잇는 가장 짧은 선이 C 의 호일 때, 곡선 C 를 이 곡면의 측지선이라고 한다.

에서는 직선, 구면(球面) 위에서는 대원(大圓)의 호(弧)가 측지선이다. 즉, 공간의 곡면 위에 곡선 C가 있어, C 위의 충분히 가까운 임의의 2점 P, Q에 대하여, 이 곡면 위에서 P, Q를 잇는 가장 짧은 선이 C 의 호일 때, 곡선 C 를 이 곡면의 측지선이라고 한다. 이를테면, 평면 위의 직선, 직원기둥면 위의 나사선 등은 각각 면 위에서의 측지선이다. 곡면 위에서의 2점을 잇는 가장 짧은 선은 측지선이지만, 역(逆)은 그렇지 않다. 예를 들면 구면 위의 대원의 우호(優弧:반원보다 큰 호)는 측지선이지만, 양끝의 2점을 잇는 가장 짧은 선에서는 그렇지 않다.

측지선은 그 접촉평면이 항상 곡면의 법선(法線)을 포함하는 곡선이다. (質點)이 곡면상에 속박되면서 힘을 받지 않고 운동할 때의 길도 측지선이다. 곡면의 제1기본 미분형식을 ds²=E(u,v)du²＋2F(u,v)dudv＋G(u,v)dv² 이라 할 때, 측지선은 적분

      
        

의 제1변분(第一變分) δJ=0에서 얻어지는 오일러-라그랑주의

      

의 로서도 정의된다. 따라서, 1점과 그 점에 대한 한 방향을 주게되면 단 1개의 곡선이 정해진다.