직각삼각형

요약 한 각이 직각인 삼각형을 말한다.

한 각이 직각인 삼각형을 직각삼각형이라 하고 그 직각의 대변을 빗변이라 한다. 다음의 직각삼각형 ABC를 기준으로 보면, 각 B가 직각이고 변 AC가 빗변이 된다.

특성

직각삼각형은 다음과 같은 성질을 갖는다. ① 직각을 제외한 다른 두 각의 합은 직각이다. ② 빗변의 중점은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있다. ③ 빗변의 은 다른 두 변의 각각의 제곱의 합과 같다. ④ ∠A＝∠ACH, ∠B＝∠BCH 등이다. 

내각의 합

삼각형의 세 각의 합은 180도이므로, 90도인 각 B를 제외하면 각 A와 각 C의 크기를 합한 것이 90도가 된다.

∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + 90° + ∠C = 180°
∠A + ∠C = 90°

이처럼 직각을 제외한 두 각의 합이 90도임을 이용하면 한 각의 크기만 알아도 나머지 다른 각의 크기를 알 수 있다. 즉 직각삼각형의 한 각이 60도이면 나머지 각은 30도가 되고, 만약 한 각이 45도이면 나머지 한 각도 45도가 된다.

넓이

아래 직각삼각형과 같이 직각을 낀 두 변의 길이를 알면, 직각삼각형의 넓이를 구하기 쉽다.

직각 덕분에 b가 자동으로 삼각형의 높이가 되므로, 직각삼각형의 넓이는 ab/2가 된다.

합동 조건

직각삼각형은 이미 한 각이 직각이므로 좀 더 간단한 조건으로 합동을 확인할 수 있다. 직각(Right Angle)과 빗변(Hypotenuse)의 길이 및 나머지 한 각(Angle) 또는 나머지 한 변(Side)의 길이를 확인한다.

1) RHA 합동

직각삼각형에서 빗변(H)의 길이와 나머지 한 각(A)의 크기가 같으면, 두 직각삼각형은 합동이다.

2) RHS 합동

직각삼각형에서 빗변(H)의 길이와 나버지 한 변(S)의 길이가 같으면, 두 직각삼각형은 합동이다.

피타고라스의 정리

직각삼각형의 세 변의 길이 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

a² = b² + c²

이를 피타고라스의 정리라고 한다.

외심

직각삼각형의 외심은 항상 빗변의 중점에 있다. 즉, 빗변 길이의 절반이 직각삼각형의 외심원의 반지름이 되고, 외심에서 직각이 위치한 꼭짓점으로 그은 선분의 길이 또한 반지름의 길이와 같다. 다시 말해, 빗변의 중점은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 존재한다.

닮음

두 삼각형이 닮음이려면 두 각의 크기가 같으면 된다. 삼각형의 내각의 합이 항상 180도이기 때문에, 두 각의 크기만 알면 나머지 한 각의 크기는 자동으로 결정되기 때문이다. 직각삼각형의 경우 이미 한 각이 직각이므로 나머지 한 각의 크기만 알면 두 직각삼각형이 닮음인지를 확인할 수 있다. 직각삼각형의 경우 하나의 직각삼각형 안에 닮음인 두 개의 작은 직각삼각형을 찾아낼 수 있다. 아래와 같은 직각삼각형 ABC를 생각해보자.

 

직각이 위치한 지점의 꼭짓점 A에서 빗변을 향해 내린 수선의 발을 H라고 하자. 이때 직각삼각형 ABC는 두 개의 작은 직각삼각형 ABH와 AHC로 나뉘게 된다. 삼각형 ABH에서 직각과 각 B의 크기는 그대로이며 삼각형의 내각의 합이 180도이기 때문에 각 BAH는 각 C의 크기와 같을 수 밖에 없다. 마찬가지로 삼각형 AHC에서 직각과 각 C의 크기는 그대로이며 삼각형의 내각의 합이 180도이기 때문에, 각 CAH는 각 B의 크기와 같을 수밖에 없다. 그러므로 삼각형 ABH와 AHC, 그리고 원래의 삼각형 ABC는 각각 세 각의 크기가 같아 모두 닮음이 된다.