아르키메데스의 공리

요약 대수학에서의 아르키메데스군(群)과 기하학의 연속성에 관한 공리이다.

① 아벨군(群)에 있어서 그 임의의 2원소 a,b에 관하여 항상 a≤b 또는 b≤a인 관계(관계≤는 순서)가 있으며, 다음 3조건을 만족할 때, 이것을 아르키메데스군(群)이라 한다. 조건 ㉡은 아르키메데스의 실수의 무한성에 관한 공리이다. ㉠ 임의의 원소 c에 대하여 a≤b이면 a＋c≤b＋c. ㉡ a가 임의의 양(陽)의 수이면 수열 {na}(n=1,2,…)는 어떤 상계(上界:upper bound)를 가지지 않는다. ㉢ 임의의 양의 수 a에 대하여 0＜b＜a인 b가 존재한다.

② 직선상의 임의의 2선분을 각각 AB,CD라고 할 때, A,B에 의하여 정해진 직선상에 유한개인 점 A₁, A₂,…, A_n을 취하여 CD≡AA₁≡A₁A₂≡…≡A_n-1A_n 이고, 또한 B가 A, A_n 사이에 있게 할 수 있다. 이것이 아르키메데스의 기하학에 관한 연속성의 공리이다.