러셀의 패러독스

요약 영국의 수학자 B.러셀이 1901년에 발견한 집합론의 패러독스.

러셀의 역리(逆理)라고도 한다. 자기 자신에 속하지 않는 집합, 즉 자기 자신의 원소가 되지 않는 집합들의 집합인 Z={x l x￠Z}에서, “Z는 자기 자신에 속하는가, 또는 속하지 않는가?”라는 질문에 대하여, 만일 Z가 Z에 속하지 않는다면 Z의 정의에 따라 Z는 자기 자신에 속한다. 또 Z가 Z에 속한다고 하면, Z의 정의에 따라 Z는 자기 자신에 속하지 않는다. 어느 경우이든 모순에 도달한다.

이 패러독스의 직관적인 비유로서 다음과 같은 것을 들 수 있다. 어느 시골 마을에 스스로 머리를 깎지 않는 모든 마을 사람들의 머리를 깎아주는 한 이발사가 있다. 그러면 이발사 자신에 관해서는 어떻게 될까? 이 이발사가 자신의 머리를 깎는다면 그는 자기 자신의 머리를 깎는 사람이다. 그러므로 그는 자신의 머리를 깎을 수는 없다. 만일 자기 자신의 머리를 깎지 않는다면 그는 그가 깎아 주어야 할 마을 사람들의 집합에 속한다. 따라서 어느 경우이든 그는 어느 쪽에도 속할 수 없다.

러셀의 패러독스는 순수 논리적인 것이므로, 논리학의 기초를 위태롭게 한다고 하여 한 때 비상한 관심을 모으기도 했다. 이것을 해결하기 위해 러셀 자신의 계형이론(階型理論)과 J.노이만의 공리론적 집합론이 나왔으며, 이것이 새로운 논리학과 수학기초론의 근저를 이루게 되었다.