라그랑주의 운동방정식

요약 해석역학에서 물체의 운동을 기술하는 기초방정식으로 일반적인 운동부터 상대론적으로 기술해야 하는 역학이나 전자기학등에도 적용 가능하다.

역학계(力學系)에서 운동에너지 T를 일반화좌표 q_i(i＝1,2,3,…,n)와 이를 시간 t로 미분한 양인 일반화속도 dq_i/dt의 함수라 하고, 각각의 i에 대해 일반화힘을 Q_i라 할 때, 달랑베르의 원리(d'Alembert's principle)를 적용하면 미분방정식


 ,

을 얻는다. 이 미분방정식을 라그랑주의 운동방정식이라고 한다. 보존력장(保存力場)에서는 힘은 퍼텐셜에너지 V의 기울기(gradient) Q_i＝-∂V/∂q_i로 나타낼 수 있으므로, 라그랑주함수 L=T－V를 써서,





로 나타내는 것이 일반적인 라그랑주의 운동방정식 형태이다. 이 방정식은 변분원리(變分原理)인 해밀턴의 최소작용의 원리 δ∫Ldt＝0과 등가(等價)이다. 수학적으로는 오일러방정식이라고 한다. 보다 복잡한 경우, 예를 들면 상대론적 역학이나 전자기장에 대해서도 라그랑지의 운동방정식이 성립된다.