뉴턴의 냉각법칙

요약 시간에 따른 물체의 온도변화는 그 물체의 온도와 주위 물체의 온도차에 비례한다는 법칙으로 온도차이가 적을 때 근사적으로 사용할 수 있다.

뉴턴의 냉각법칙을 수식으로 표현하면 다음과 같다.

dT/dt = -k(T - S)

여기서 T는 물체의 온도, S는 물체 주위의 온도, k는 초기조건으로 구해지는 상수이다. 1701년 I.뉴턴에 의해 발견되었다. 온도차가 적을 때만 근사적으로 적용된다.

위 식은 1계 미분방정식이다. 이 미분방정식을 다음과 같이 온도와 시간의 함수로 풀 수 있다.


여기서 은 물체 초기의 온도이다.

위 미분방정식에 관한 예로 피살된 사람의 피살 시간을 추정할 수 있다. 자정( t'= 0)에 모텔에서 시체가 발견되었다. 발견 당시 시체의 온도는 26도였다. 2시간 뒤 시체의 온도는 24도가 되었고 모텔 방안의 온도는 18도로 일정하였다. 이 사람의 죽은 시간을 구해보자.
 
우선 k를 구해야 한다. 위 미분방정식의 해로부터   이 된다.
 
다음으로 죽기 전 사람의 온도는 36.5도이고 자정( = 0)에 시체의 온도는 26도였다. 그럼 위 미분방정식으로부터 죽기 전의 시간을 구해보면 
  이 된다.
여기서 는 죽기 전까지 걸리는 시간이다. -5.83시간은 약 5시간 50분 전이다. 따라서 시체는 자정에서 5시간 50분 전인 6시 10분에 죽은 것으로 추정할 수 있다. 오래 지난 사체의 피살된 시간은 추정하기 어렵지만 몇 시간 전에 죽은 사람의 피살 시간은 충분히 추정가능하다.

이외에도 뉴턴의 냉각법칙으로 방안에 있는 뜨거운 커피가 언제쯤 몇 도까지 식는지 알 수 있다.