미시경제학 질문입니다.

1) X재와 Y재의 한계효용은 각각 다음과 같이 구할 수 있다.

MUx = (∂U/∂X) / P_x = (1/3)(Y/X)^(2/3) / 10 = (1/30)(Y/X)^(2/3)

MUy = (∂U/∂Y) / P_y = (2/3)(X/Y)^(1/3) / 5 = (2/15)(X/Y)^(1/3)

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2) 소비자 효용을 극대화하기 위해서는 MRS(Marginal Rate of Substitution)이 가격비율과 같아지는 지점에서 소비를 해야 한다. MRS는 다음과 같이 정의된다.

MRS = MUx / MUy = (1/3)(Y/X)^(2/3) / (2/15)(X/Y)^(1/3) = (5/2)*(Y/X)

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따라서 Y재를 몇 단위씩 소비해야 하는지 구하기 위해서는 MRS = 5/2 = P_y / P_x = 0.5 이 되는 지점에서의 X와 Y의 양을 구하면 된다.

MRS = 5/2 = (2/3)*(Y/X)^(1/3) / 1/3

(Y/X)^(1/3) = 5/4

Y/X = (5/4)^3 = 125/64

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따라서 Y재를 X재보다 125/64 배 많이 소비해야 한다.

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3) X재의 가격이 10원에서 5원으로 하락하였을 때, 소비자의 최적 소비점은 다음과 같이 구할 수 있다.

MRS = MUx / MUy = (1/3)(Y/X)^(2/3) / (2/15)(X/Y)^(1/3) = (5/2)*(Y/X) = P_y / P_x = 1/2

(Y/X)^(1/3) = 2/5

Y/X = (2/5)^3 = 8/125

따라서 Y재를 X재보다 8/125 배 많이 소비해야 한다.

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4) 대체효과와 소득효과는 다음과 같이 구할 수 있다.

대체효과는 X재의 가격이 내려감으로써 X재와 Y재의 가격비율이 작아졌을 때 발생한다. 이 경우, 소비자는 Y재를 조금 더 많이 구매하게 되므로 X재의 소비량은 줄어들게 된다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

MRS = MUx / MUy = (1/3)(Y/X)^(2/3) / (2/15)(X/Y)^(1/3) = (5/2)*(Y/X) = 5/10 = 1/2

(Y/X)^(1/3) = 1/4

Y/X = (1/4)^3 = 1