안녕하세요?
저는 결혼정보업체를 운영하는데요.
직사각형의 넓이 : 가로 X 세로
직육면체의 부피 : 가로 X 세로 X 높이
정육면체의 부피 : 직육면체와 같음
직육면체의 겉넓이 : 밑넓이 X 2 + 옆넓이
직육면체의 옆넓이 : 밑면의 둘레 x 높이
정육면체의 겉넓이 : 한면의 넓이 x 6
마름모의 넓이 : 한대각선의 길이 x 한대각선의 길이
부피= 가로*세로*높이
밑널이= 가로*세로
옆넓이= 가로+세로+가로+세로*높이
직사각형 일때 겉넓이= (밑넓이*2)+ 옆넓이
정사각형 일때 겉넓이= 밑넓이+6 (정사각형이어도 직사각형일때 겉넓이 해도 아무 상관없습니다.)
직사각형 둘레= 모서리+모서리+모서리+모서리+모서리+모서리
정사각형 둘레= 모서리*12 (직사각형 둘레 해도 상관없음)
사각형= 가로*세로
삼각형= 밑면*높이/2
마름모= 한대각선의길이*한대각선의길이
여기안에 거의다 걸립니다.
곱하기는 X또는 *로 표시
더하기는 +
입니다.
아직 초등학생이시라면 수학의 매력에 대해 잘 모르실거라 생각하는데
수학은 공식이 아니라 응용 입니다. 공식을 아무리 잘 외우고 많이 알고 있다고
하더라도 자기 자신이 풀면서 익히지 않은 공식은 그저 '알고있는것' 입니다.
수학을 풀려면 알고있는것이 아닌 '응용할수 있는 것!' 입니다.
여기서 원기둥 넓이 같은것도 적어달라고 하셨는데
원기둥의 부피는 밑넓이 * 높이 입니다.
단순히 암기 하시지 말고 왜 그럴까 생각해 보세요~
원기둥이라는건 O모양의 넓이를 차곡차고 쌓아 올린거지요?
즉! 원기둥이라는것은 한원을 일정 높이까지 쌓아올린것입니다.
그래서 원기둥의 부피는 밑넓이 * 높이가 되는것입니다.
(한원) (일정높이)
원의 넑이는 ㅠ(약 3.14) X(곱하기) 반지름의 길이 제곱 입니다.
이것은 증명하려면 고등학교 과정까지 들어가야 되서 생략합니다.^^
연비나 소금물의 농도같은것은 따로 공식이 있는것이 아닙니다.
일반적으로 주어진것을 어떻게 풀어나가느냐는 자기 자신의 노력과 연습에 달려있습니다.
출처: http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=60162550&qb=7LSI65Ox7ZWZ7IOd7IiY7ZWZ6rO17Iud&enc=utf8§ion=kin&rank=1&search_sort=0&spq=0
사각형의 넓이 - 가로 X 세로
삼각형의 넓이 - 가로 X 높이 ÷ 2
사다리꼴의 넓이 - 밑변의길이 + 윗변의 길이 X 높이 ÷2
(초등학교 6학년 수준의 공식들, 중학교에서도 나오는것 )
원주구하는 공식 - 지름 X 3.14 (원주율이라구두 하고, 중학교올라가면 (파이라구)부름)
원의넓이 구하는 공식 - 반지름 X 반지름 X 3.14
원기둥 겉넓이 구하는 공식 - 반지름 X반지름X3.14 +X2 + 지름 X 3.14X 높이
원기둥 부피 구하는 공식 - 반지름 X 반지름 X 3.14 X 높이
1. 초등학교 공식
삼각형공식: 밑변 X 높이 X 1/2(이분의 일)
사각형공식: 밑변 X 높이
사다리꼴공식: (윗변 + 아랫변) X 높이 X 1/2(이분의 일)
원공식: 반지름 X 반지름 X 3.14(파이)
*원주(원의 둘레)공식:지름 X 3.14(파이)
*호의 길이: 원주(원의 둘레) X 중심각도/360(삼백육십분의 중심각도)
부채꼴공식: 원 X 호의길이/360(삼백육십분의 호의길이)
마름모공식: 한대각선 X 다른대각선 X 1/2(이분의 일)
평행사변형공식: 밑변 X 높이
나머지: 위에것들을 이용 (예: 정오각형: 삼각형 + 사다리꼴)
기둥공식(부피): 밑면(위에 것들중 하나) X 높이
뿔공식(부피): 기기둥 X 1/3(삼분의 일)
구공식(부피): 4/3(삼분의 사) X 3.14(파이) X 반지름의 세제곱(반지름의 삼승)
구공식(겉넓이): 4 X 3.14(파이) X 반지름의 제곱(반지름의 2승)
나머지(겉넓이): 한면씩 계산
원기둥공식(겉넓이): (밑면 X 2) + (원주 X 높이)
원기둥 공식(부피) : 밑면의 반지름² X 3.14(π) X 원기둥 높이
원뿔공식(겉넓이): 호의넓이 + 원의 넓이
Ⅰ. 수학을 배워서 어디에다 쓰나
기원전 3세기경 이탈리아 시칠리 섬의 시라쿠사에는 아르키메데스(287-212 B.C.)라는 유명한 학자가 살았다. 그는 임금인 히에론에게 수학을 가르치곤 했다. 하루는 임금님이 그에게 ■■수학을 배워서 어디에다 쓰는가?■■라고 물었다.
아르키메데스는 친절하게도 예를 들어 지렛대와 도르래로 무거운 물체를 들 수 있는 것 등이 모두 수학적인 원리를 이용한 것임을 보였다. 또 포물선의 성질을 이용한 포물거울로 햇빛을 모아 로마함대를 무찌를 수 있었던 것도 수학의 덕분이라고 덧붙였다. 하지만 아르키메데스 자신은 수학의 쓰임보다도 자연에 숨어 있는 섭리를 발견하는 것이 더 큰 즐거움이었다. 지금도 ■■수학을 배워서 어디에다 쓰는가?■■라고 묻는 사람들이 많다. 역사적으로 볼 때 수학은 인류 최초의 학문이다. 고대 그리스 시대에 수학은 곧 철학이었다. 화음이론, 원근법, 투시도, 측량, 천체 관측 등 모든 것이 수학에서 비롯됐다.
현대 사람들이 추구하는 문제 가운데는 ■■가장 적합한 것을 구하는 것■■이 많다. 어떤 상품을 개발할 때 최대 이윤을 남기도록 하는 것에서 인공위성을 설계할 때 발생하는 문제들이 대부분 수학적으로 해결된다. 과거에는 아무렇게나 만들어도 작동하던 것들이 과학과 기술이 발전하면 할수록 점점 더 효율적이고 적합한 것들을 추구 하기 때문이다. 한마디로 수학을 떼 놓고는 제대로 할 수 있는 일이 없다고 보면 된다. 이제 인류 최초의 학문이면서 인류 최후의 학문으로 불리는 수학이 걸어온 길을 살펴보기로 하자.
학문 탄생의 산파
고대 그리스의 수학자들은 길이 재는 법을 가르쳐줬고, 삼각형의 성질을 이용해 강을 건너지 않고도 강 너비를 알 수 있게 해줬으며, 산에 오르지 않고도 산의 높이를 알 수 있도록 했다. 달에 가 보지 않고도 달까지의 거리를 쟀다. 고대 학문의 중심지였던 알렉산드리아 도서관 관장이었던 에라토스테네스는 삼각형의 성질을 이용해 하짓날 정오에 만들어지는 막대기의 그림자를 보고 지구의 크기까지 측정했다. 또 수학자들은 천체의 운동을 관측하면서 시각을 알려줬다. 일년은 3백65일이며, 한바퀴 돌면 3백60도이고, 일년은 12달, 하루는 24시간, 1분 60 초라는 것 등이 모두 수학자 덕분이라는 얘기다.
뿐만 아니라 수학자들은 기하학을 바탕으로 땅의 넓이를 재는 법도 알려줬다. 이것은 가을에 곡식을 얼마나 거둘 수 있는가를 예측하게 해주었으며, 국가로서는 세금을 걷는 근거가 됐다. 홍수로 강이 범람해 누구 땅인지 구별하기 어려울 때에도 해결책을 제시했다. 또 수학자들은 그리스의 파르테논 신전이나 이집트의 피라미드를 설계할 때 아름다운 황금비를 제안했으며, 필요한 돌의 양을 미리 알려줬다.
1천5백여년이 지나 지구가 둥글다는 것을 발견하고, 태양을 도는 행성들의 궤도가 원이 아니라 타원이라는 것을 발견한 케플러(1571-1630)의 업적도 그리스의 기하학이 없었다면 이루어지지 못했을 것이다. 이처럼 수학은 시대마다 새로운 학문을 탄생시켰고 미래에도 그러할 것으로 예상된다.
과학을 인도하다
일반 상대성이론도 독일의 리만(1826-1866)이 비유 클리드 기하학과 공간의 개념을 정립해 1854년에 발표한 ■■리만 기하학■■이 있었기에 가능했다. 리만 기하학은 비유 클리드 기하학과 공간의 개념을 정립함으로써 아인 슈타인이 시간과 공간을 하나로 인식할 수 있도록 했다.
양자역학과 입자물리학에도 군론과 복소수이론, 확률론은 그대로 이용된다.
19세기 초 프랑스의 갈루아(1811-1832)는 5차 이상의 방정식에 근의 공식이 존재하지 않는 이유를 ■■대칭성 이론■■을 도입해 완벽하게 해결했다. 이 이론은 20세기초에 군론(group theory), 체론(field theory), 표현론(repre-sentation theory)으로 크게 발전했다. 현재 군이론은 통신을 할 때 잡음이 들어가는 것을 수정하는 방법(error correcting code)에, 또는 일부러 잡음을 넣어 보안에 신경을 쓰고자 할 때도 쓰인다.
20세기 수학자들은 ■■유한군론과 리군(Lie group)론■■을 통해 자연과 사회 및 인간의 마음에 존재하는 모든 대칭성을 찾아 그것들에 대한 도표를 만들기 시작했다. 이것은 4차원 공간이나 그 이상을 설명하고 나아가 물질의 본질을 규명하는 기본 원리로 쓰였다. 과학자들이 자연세계의 본질을 파헤치기 위해 찾으려고 했던 소립자들을 물질이라기보다 ■■대칭성의 표현■■이라고 하는 것도 같은 맥락이다.
신용카드에서 디지털 혁명까지
최근에 물리학의 양자장론과 끈이론(string theory)에서도 19세기말부터 출발해 20세기말에 매듭이론(knot theory)으로 크게 발전한 위상수학(位相數學, topology)이라는 학문이 크게 쓰이고 있다.
현대 수학에서 빼놓을 수 없는 것이 암호이론과 게임이론이다. 암호이론과 관련해 튜링(1912-1954)은 2차세계대전 당시 독일군의 암호를 해독해 영국을 전쟁에서 승리하도록 도움을 준 것으로 유명하다. 또 20세기 경제학과 정치학, 외교학 발전에 크게 기여한 게임이론은 독일 수학자 폰노이만(1903-1957)의 작품이다. 물론 튜링과 폰노이만은 컴퓨터를 발명한 장본인들이기도 하다. 컴퓨터가 오늘날처럼 발전하게 된 데에는 여러 과학자들의 힘이 컸지만, 수학자들의 역할도 무시할 수 없다. 예를 들어 불(1815-1864)의 이진법 대수체계에 대한 이론은 1940년 이후 전기회로에 이용되면서 컴퓨터를 이진 회로로 동작하는 기계로 설계하도록 했다.
현재 전 세계에서 통용되는 ■■공개키 암호■■ 의 원리도 군론과 소인수분해 이론이 응용된 것이다. 이러한 이론은 현대사회에서 개인들이 신용카드를 쓰고, 은행예금을 인출하며, e메일을 주고받으며, 핸드폰을 사용하고, 기업이나 국방외교의 기밀을 보장하는데 유용하게 쓰인다.
미래시대를 대표하는 용어로 불리는 디지털 혁명도 수학과 함께 시작한다. 프랑스의 푸리에(1768-1830)의 이론에 따르면 모든 주기적인 현상은 sin이나 cos 등 삼각함수의 합으로 나타낼 수 있다. 이 이론은 1948년 미국의 벨 실험실(Bell Lab)의 섀논이라는 수학자의 논문 ■■통신의 수학적 이론■■에 적용된다. 이 결과로 아날로그 통신시대는 막을 내렸고 디지털 혁명을 가속시켰다. 현재 머리카락 굵기의 전선에 6백40만개 이상의 신호를 처리할 수 있게 된 것이 수학자들의 공로란 얘기다. 푸리에이론은 많은 용량의 음악을 담는 CD를 탄생시켰을 뿐 아니라 지구 반대편의 사람들과 얼굴을 보면서 통화하는 것까지 가능하게 만들었다.
날씨와 미분방정식
현대인의 생활과 가장 밀접한 관련을 맺고 있는 날씨도 수학을 빼고는 설자리가 없다. 태풍이 분다든지 비가 온다든지 하는 기상변화와, 지진이 일어나고 해류가 흐르는 것들을 분석하고 예측하기 위해서는 고도의 미분방정식을 잘 풀어야 하기 때문이다. 일기예보가 어려운 이유 중의 하나는 자료를 분석하고 설계하는 수학이 어렵기 때문이다.
미분방정식과 같은 수학은 국가의 경제에도 큰 영향을 미친다. 현재 미국이 누리는 호황은 금융호황이라고 불리는데 이것은 금융수학의 바탕에서나 이뤄질 수 있는 말이다. 1973년 블랙과 숄츠 같은 수학자들은 미분방정식 이론이 금융시장에도 잘 적용되는 것을 발견했다. 금융시장의 흐름을 미분방정식을 통해 알 수 있다는 말이다. 뉴욕의 금융시장에서는 수천 명의 수학자들이 새로운 금융상품을 만들어낸다. 국민 연금이나, 퇴직금, 의료보험금 등 경제활동으로 파생되는 경영 문제와 기업평가 등은 수학자의 손에서 이뤄진다. 세계 경제의 흐름을 수학자들이 이끌어낸다고 말할 수 있다. 이렇게 현대 수학은 과학은 물론 경제분야와 일상 생활 전반에 깊게 관여하고 있다.
수학은 이공계로 갈 사람들만 공부하면 될 것이라고 생각한다면, 이것은 큰 오해다. 수학은 사람의 마음을 종합적으로 훈련시키는 학문이다. 단순히 과학을 배우기 위한 도구가 아니라 바르게 생각하고 바르게 표현하는 방법을 제공하는 언어다. 수학이 비록 실생활에 많은 도움을 주는 면이 많다 하더라도, 눈에 보이는 쓰임에만 중요성을 강조하는 것은 옳지 않다. 금전이 쓰임이 많아도 그 자체가 목적이 아닌 것과 마찬가지이다. 사람의 몸과 마음이 둘이 아니듯이, 이론과 실용도 둘이 아니다.
Ⅱ. 우애수, 완전수, 삼각수, 아라비아수
'수'없는 세상을 상상할 수 있을까? 우리 주변에서 찾아볼 수 있는 수많은 번호, 예를 들어 전화 번호, 상품 번호, 도서 번호, 자동차 번호, 우편 번호, 아파트 번호, 전철과 도로 번호, 계좌 번호, 신용카드 번호, 비밀 번호, 주민등록 번호, 수험 번호, 학번, 군번 등은 우리가 수 속에 파묻혀 살고 있음을 보여준다. 그리고 시간, 거리, 속도, 넓이, 부피, 무게 등과 같이 실생활과 불가분의 관계를 맺고 있는 개념들도 수를 이용하지 않고는 도무지 설명할 방법이 없을 것처럼 보인다.
아이들은 말을 배우면서 ■■하나, 둘, 셋, …■■하면서 수를 접하고, 더 큰 수를 말할 수 있음을 자랑스러워한다. 곧 숫자 1, 2, 3, …을 배우고, 수를 계산한다. 수는 볼 수도 없고 냄새를 맡아볼 수도 없으며 만져볼 수도 없는 추상적인 개념이지만, 자연 언어와 마찬가지로 우리의 일부가 된다.
그렇지만 수가 이런 단계까지 도달하는 데는 길고도 긴 시간이 걸렸고, 수많은 사람들의 피나는 노력 덕분에 손쉽게 수를 다룰 수 있게 됐다. 잠시 과거로 돌아가 여러 이름의 수들이 탄생한 배경을 살펴보자.
하나, 둘, 많이
원시 시대의 수학을 확인해보는 방편으로 아직도 원시 생활을 하고 있는 부족을 연구하기도 한다. 원주민들은 물건의 많고 적음을 구분할 수 있지만, 얼마나 많은 지를 분명하게 말하지 못한다. 물건의 개수를 나타내는 숫자도 없고 수 이름도 없기 때문이다. 사실 사람의 이름을 짓기가 어렵듯이 수에 이름을 붙이는 것도 매우 어려웠을 것이다. 원시 부족 중에는 수 이름이 고작 ■■하나■■와 ■■둘■■밖에 없는 경우가 있다. 그러면서 ■■많이■■는 앞의 것보다 큰 모든 수에 대한 이름이다.
말라카에 살고 있는 사카이 부족의 한 노인에게 나이를 묻자, ■■예, 저는 세 살입니다■■라고 대답했다는 이야기도 있다. 아예 수 이름이 전혀 없는 부족도 있다. 스리랑카의 베다 부족에게 코코넛의 개수를 물어보면, 그와 개수가 같은 조개 껍질을 보여주면서 ■■이만큼 많이■■라고 말한다. 호화로울 정도로 많은 수 이름을 만들어준 조상님들께 감사드려야 하지 않을까.
분명히 새로운 수를 찾고 이에 이름을 붙이는 과정은 매우 어려웠을 것이다. 그래서 수는 소중히 간직해야 할 귀중하고 신성하며 신비로운 재산이었을 것이다. 세월이 흐르면서 수에 의미가 부여됐고, 수에 대한 미신이 생겼으며, 금기 사항이 추가됐다.
가장 존경받는 수 1
수학이 성년기에 들어선 고대 그리스 시대에 수에 대한 호기심과 신비로움은 극에 달했다. 피타고라스 학파는 (자연)수가 만물의 구성 원소라고 믿었으며, 이에 따라 수 사이의 관계를 터득한 사람은 만물의 현상을 이해하고 지도할 수 있다고 믿었다.
그들은 수 하나 하나에 의미를 부여했는데, 이를테면 모든 수의 생성원으로서 1은 가장 존경받는 수이며 이성의 수였다. 최초의 짝수 또는 여성의 수인 2는 의견의 다양성을 나타냈다. 최초의 진정한 남성의 수인 3은 단일성과 다양성의 합성으로서 조화를 나타냈다. 4는 정의를 의미했는데, 원한의 해소를 권유하는 수였다. 최초의 진정한 남성의 수와 여성의 수의 결합인 5는 결혼을 의미했다. 6은 창조의 수였다. 그들의 수에 대한 신비로운 연구는 계속돼 우애수, 완전수, 다각수가 등장했다.
220과 284는 우애수
두 수 220과 284는 약수를 통해 매우 친근한 관계를 맺고 있다. 220의 진약수(자신을 제외한 약수)는 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110인데, 이것들의 합은 284이다. 또 284의 진약수는 1, 2, 4, 71, 142인데, 이것들의 합은 220이다. 서로 다른 친구를 ■■또 다른 나■■라고 역설한 피타고라스는 이 두 수에서 우정의 표상을 발견했으며, 이런 수들을 우애수■■의 쌍이라고 불렀다.
그리고 신비로운 분위기를 풍기는 우애수의 쌍이 적힌 부적을 나눠 가진 사람 사이에는 완전한 우정이 보장된 다는 미신이 생겼다. 이런 부적을 나누어 가진 한 사람이 지구의 반대편에 가 있더라도 그리고 바늘에 찔리는 정도의 가벼운 상처를 입더라도 다른 사람은 그 사실을 알게 되고 아픔을 함께 느낀다고 생각했다.
우애수의 쌍에 대한 또 다른 예로 1184와 1210, 17296과 18416 등이 있다. 많은 수학자가 새로운 우애수의 쌍을 찾아내려고 시도했고, 우애수의 쌍을 체계적으로 찾아내는 다양한 방법이 고안됐다. 암스테르담에 살고 있는 수학자 릴레는 최근에 임의로 정한 한계까지의 모든 우애수의 쌍을 계산할 수 있는 방법을 발견했고, 1백억보다 작은 우애수의 쌍 1천4백27가지에 대한 목록을 작성했다.
6일만에 창조된 완전한 세상
통상 피타고라스 학파의 업적으로 돌리는 것 중에 또다른 것으로 ■■완전수■■, ■■결핍수■■, ■■과잉수■■가 있다. 어떤 수의 모든 진약수의 합이 원래의 수와 같을 때 그 수를 완전수라 하고, 원래의 수보다 작을 때를 결핍수라 하며, 원래의 수보다 클 때는 과잉수라고 한다. 이를테면 6=1+2+3이므로 6은 완전수이고, 8은 1+2+4보다 크므로 결핍수이다. 그래서 성서에 따라 6일만에 창조된 세상은 완전했는데, 노아의 방주에 타고 있던 여덟 사람으로부터 유래된 현재의 인류는 불완전하다. 이 세상에 재난과 질병이 들끓는 이유일까.
처음 세 개의 완전수는 6, 28, 496이다. 신비로운 완전수에 대한 고찰은 진지한 수학적 연구를 유도했다. 유클리드의 ■■원론■■ 제IX권의 마지막 정리는 다음 명제를 증명하고 있다. ■■2n-1이 소수이면, 2n-1(2n-1)은 완전수이다.■■ 유클리드의 공식으로 얻는 완전수는 모두 짝수인데, 오일러(1707-1783)는 짝수인 모든 완전수가 반드시 이런 꼴이라는 사실을 밝혔다. 그래서 짝수인 완전수에 대한 연구는 2n-1 꼴의 소수에 대한 연구로 귀결됐다. 2n-1 꼴의 수를 ■■메르센 수■■라 하고, 이런 꼴의 소수를 ■■메르센 소수■■라고 한다. 메르센 수는 거대한 소수를 찾아서 기록을 세우려는 사람들에게 귀중한 도구다. 최근에 가장 큰 소수의 명예를 안았던 수는 모두 메르센 소수다(표 2). 현재(1999년 6월)까지 38개의 메르센 소수가, 따라서 38개의 짝수인 완전수가 발견됐다.
꾸준히 거대한 완전수가 발견되면서 자신이 발견한 완전수가 가장 큰 수가 될 것이라고 발표한 발로우(1776-1862)의 판단은 설자리가 없어졌다. 그는 1811년 한 책에서 n=61에 대응하는 아홉째 완전수에 대해 ■■이 수는 앞으로 발견될 완전수 중에서 가장 큰 수가 될 것이다. 왜냐하면 완전수는 쓸모없고 단지 호기심의 대상이므로 누구도 이것보다 더 큰 수를 찾아내려고 시도하지 않을 것이기 때문이다■■라고 말했다.
완전수에 대한 연구는 계속되고 있다. 그런데 홀수인 완전수는 존재할까. 이 질문은 오랜 역사를 지니고 있다. 또 쉽게 제기할 수 있고 호기심도 자극한다. 하지만 여전히 미해결된 문제로 남아 있다. 최근에 브렌트와 코헨은 홀수인 완전수가 존재한다면 적어도 3백자리의 수가 돼야 한다는 사실을 발견했다.
해바라기에 들어있는 피보나치 수열
고대 그리스 시대에는 알파벳을 숫자로 사용했기 때문에, 효율적으로 수를 나타낼 수 없었다. 피타고라스 학파는 점을 기하학적 도형의 형태로 배열해서 수를 나타내기도 했는데, 이것으로부터 ■■다각수■■가 유래됐다. 삼각형, 사각형, …으로 배열해서 나타낸 수를 각각 삼각수, 정사각수, …라고 한다(그림 2). 영어에서 스퀘어(square)는 정사각형과 제곱수를 동시에 나타내고, 큐브(cube)는 정육각형과 세제곱수를 나타내는데, 이것은 그리스 시대에 수를 기하학적으로 나타냈던 전통에서 유래한다.
삼각수와 정사각수는 각각 하나의 수열을 이룬다. 수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열중 하나가 피보나치 수열이다. 인도-아라비아 숫자를 유럽에 전파하는 데 큰 공헌을 했던 피보나치(1175-1250?)는 다음과 같은 문제를 제시했다.
한 쌍의 토끼가 매달 한 쌍의 토끼를 낳고 새로운 토끼 쌍은 두 번째 달부터 한 쌍의 새끼를 매달 낳는다면, 한 쌍의 (새끼) 토끼는 일년 뒤에 몇 쌍의 토끼로 불어나겠는가?
어렵지 않게, 이 문제는 다음과 같은 흥미로운 수열이 된다는 사실을 보일 수 있다. (각 항은 각 달의 토끼 쌍의 수이다.)
1, 2, 3, 5, 8, 13, …, m, n, m +n, …
처음 두 항은 1이고 그 뒤의 항은 바로 직전 두 항의 합과 같은 이 수열을 ■■피보나치 수열■■이라고 부른다.
단순한 흥밋거리에 불과할 수도 있는 이 수열은 수학의 여러 분야와 컴퓨터 과학에서 매우 의미있게 응용된다. 실제로 피보나치 수열과 이와 관련된 사실을 주로 다루는 학술지인 ■■피보나치 계간지■■도 있다. 1963년에 창간된 이 잡지는 매년 4-5호를 발간하며, 2000년 2월 현재 제38권 제1호가 출판됐다.
그런데 더욱 놀라운 점은 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다는 사실이다. 많은 식물의 꽃잎 수, 해바라기와 파인애플에서 시계 방향과 시계 반대 방향의 나선의 개수에서 피보나치 수열의 항을 발견할 수 있다. 그리고 식물의 줄기에서 뻗어 나온 잎(또는 봉우리 또는 가지)을 생각해 보면, 줄기의 밑 근처에 있는 어떤 잎 하나에서 수직으로 위에 있는 잎까지 도달할 때까지 줄기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면, 그 수는 일반적으로 피보나치 수열의 항이 된다.
만국 공통어 아라비아 수
수는 그 자체로 호기심을 야기하고 흥미롭기 때문에, 수를 연구하는 사람은 쉽게 눈에 띈다. 그렇지만 고대의 수 체계로 수를 나타내고 간단한 사칙 연산을 하기 위해서도 상당한 집중력과 큰 고통을 감내해야 한다. 그래서 수의 계산을 보조하는 수판이 동서양 모두에서 이용됐다.
우리가 수를 자유자재로 다룰 수 있게 된 것은 열 개의 숫자 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9가 위치에 따라 다른 자릿값을 갖도록 수를 나타내는 인도-아라비아 수 체계라는 훌륭한 수 표기법을 갖고 있기 때문이다. 고대 로마나 이집트의 숫자와 비교하면 얼마나 간단하게 나타나는지 확인할 수 있다. 특히 빈 자리를 표현할 수 있는 ■■0■■의 출현은 인도-아라비아수가 어떠한 언어보다도 보편적으로 사용되는 만국 공통어로 자리매김할 수 있도록 했다. 한마디로 모든 자릿수를 표현할 수 있을뿐 아니라 간단한 알고리즘으로 계산을 손쉽게 할 수 있다는 것이 인도-아라비아수가 세계적으로 통용된 이유다.
그런데 편리하고 영리한(?) 인도-아라비아 숫자는 처음에 어떻게 만들어졌을까. 아라비아 숫자가 어떤 합리적인 규칙이나 의미를 갖고 만들어졌을 것이라고 추측할 수 있으며, 그러기를 희망한다.
모로코 박물관장인 부지바르여사는 인도-아라비아 숫자가 그에 해당하는 개수만큼의 각을 포함하도록 형상화했다고 주장한다. 여기서 각은 크기가 1백80 인 평각보다 작은 각을 의미한다. 인도-아라비아 숫자의 탄생에 대해 다시 한번 생각해보는 것은 어떨까.
Ⅲ. 평면나라에서 공간나라로
주변을 둘러보자. 동그란 컵, 네모난 모니터, 세모난 시계 등 모든 물건들이 일정한 형태를 띠고 있다. 물건만이 아니다. 현대적인 건물로 불리는 건축 양식에서는 더욱 다양한 형태의 도형을 만날 수 있다. 수학 책에서는 별로 아름다워 보이지 않던 도형들이 새로운 삶을 부여받은 듯 한껏 자신을 뽐내고 있는 것일까. 점에서 시작해 다각형, 원, 다면체까지 다양한 형태를 띠는 도형들은 세상을 더욱더 풍요롭게 만들고 있다.
도형의 세계에서 막내둥이는 점이다. 점은 위치만 나타내고 크기는 없다. 연필로 점을 찍지만 현미경으로 확대해보면 크기가 있으므로 진짜 점은 아니다. 페인트칠을 하는 원리는 점을 움직여서 면을 만드는 것이다. 직선, 선분, 삼각형, 사각형, 다각형, 원 등은 점으로 구성돼 있는 도형세계의 또 다른 식구다. 이들과 재미있는 만남을 주선하고자 한다.
세발의자와 네발의자 차이
세발의자는 밑바닥이 어떤 모양이라도 안정되게 앉을 수 있다. 그러나 네발의자는 바닥이 편평해야 안정된다. 그 이유는 무엇일까. 세 점은 한 평면을 결정하지만 네 점은 특수한 경우에만 한 평면을 결정하기 때문이다. 바로 문제는 평면의 결정조건에 있다. 그렇다면 세 점을 선분으로 이은 삼각형을 살펴보자.
대부분의 목조 건물은 벽을 쌓고 문틀을 짜서 세울 때 대개 문틀 안쪽에 버팀목을 세워 문틀을 안정시킨다. 문틀은 대개 직사각형이다. 이는 공간의 활용을 극대화시킬 수 있는 형태이기 때문이다.
이런 구조물에 힘을 가하면 평행사변형으로 찌그러진다. 정사각형이 찌그러지면 마름모꼴이 된다. 그러나 삼각형에는 힘을 가해도 결코 찌그러지지 않는다. 이는 삼각형은 세 변의 길이가 정해지면 자동적으로 각도가 고정되기 때문이다. 유럽의 건축물은 처음부터 삼각형 형태로 구조물을 여러 개 만들어놓고 그것을 조립해나가는 트러스(truss)방식을 많이 사용했다. 성수대교를 비롯한 한강의 다리를 살펴보자. 트러스교가 어떻게 힘을 분산시키고 있는가.
곡선 나라의 왕 ■■원■■
곡선은 직선과 달리 수학자들을 꽤나 고생시킨 것으로도 유명하다. 옛날에는 원에 대해 얼마나 아는가가 수학 실력을 결정하기까지 했다. 원은 모두 닮은꼴이라는 사실로부터 ℓ/ 2r`` (ℓ``은 원주의 길이, r``은 원의 반지름 )이 모든 원에 대해 일정하다는 사실이 나온다.
ℓ``/ 2r````=````π로 원주율이라 하는데 3.1415926… 로 끝이 없는 무리수다. 과거 원주율 ``π를 계산해내는 것은 그 나라의 수학 수준을 측정하는 방법이기도 했다. 아르키메데스는 원에 내접한 다각형과 외접한 다각형의 둘레의 길이를 계산하는 정다각형법을 이용해 원주율을 계산했다(그림 1). 그 후 많은 사람들이 새로운 방법으로 원주율을 계산했다(과학동아 98년 6월호 참고). 그러면 원의 넓이는 어떻게 계산했을까. 원주를 2n 등분해 부채꼴로 나누고 다시 평행사변형꼴로 모은다. n``을 크게 하면 평행사변형꼴은 직사각형으로 다가가면서 원의 넓이는 S````=````πr`` × r````=``πr2 이 된다. 별로 측량기구가 없던 시대에 에라토스테네스(B.C. 273-192)는 지구의 둘레를 오직 수학만으로 계산해냈다. 그는 하지가 되면 이집트 시에네에 있는 우물 바로 위에 태양이 오고, 같은 시각에 그곳으로부터 8백km 떨어진 알렉산드리아에서 태양을 보면 7.2도 기울어진다는 사실을 알았다. 원호의 길이는 중심각에 비례한다는 이론을 이용해 (지구둘레) : 800km =````360°: 7.2° 에서 (지구둘레) =````800 ×(360 /7.2)````=````40000km를 알아냈다. 현재 알려진 4만77km 과 비교하면 얼마나 정확한 것인가 알 수 있다.
■■지름에서의 원주각은 항상 직각■■이라는 사실과 관련된 이야기가 있다. 16세기 독일의 유명한 계산가 레이제(1492-1559)는 모자에 은으로 만든 컴퍼스를 꼽고 뽐내는 측량가를 만나 단시간에 누가 많은 직각을 그리는가 내기했다. 측량가가 직각자로 하나하나 직각을 그리는 동안에 레이제는 반원을 그려놓고 그 위에 많은 직각을 그렸다. 물론 승리는 레이제에게 돌아갔다. 지금도 공작물이 반원으로 돼 있는지를 검사하기 위해 직각자를 반원에 넣어 본다. 대단하지도 않은 이야기 같지만 수학이 잘 알려지지 않았던 중세에는 있을 법한 우스운 이야기다. 현재 우리가 알고 있는 많은 간단한 수학 공식들은 수학자들이 자연의 규칙성을 찾아내려고 골몰한 덕택이다. 물론 그 이득은 후세의 사람들이 톡톡히 보고 있지만 말이다.
닮음의 조화 A4 용지
두 장의 색종이를 겹쳐 가위로 자르면 완전히 포개지는 모양을 얻을 수 있다. 이때 두 도형을 합동이라고 한다. 이에 비해 닮음은 사진의 확대나 축소, 복사기의 확대나 축소에서 경험할 수 있다. 닮음이 가장 효율적으로 사용되는 복사용지에 대해 생각해보자.
A4, B4로 불리는 복사용지는 일상생활에서도 많이 사용된다. 구조적인 측면에서 축소나 확대에 유용하도록 재단돼 있기 때문이다. 즉 2배로 복사했을 때 복사지에 있는 내용이 그대로 A3 나 B3 로 옮겨갈 수 있게 돼 있다. 원리는 간단하다. 전지의 길이대 폭의 비를 x:1이라고 하자. 이것을 절반으로 자른 종이의 길이대 폭의 비는 1:x/2 다. 두 직사각형이 닮은꼴이므로 비례식 x:1=1:x/2가 성립하고 이로부터 x``=````√2``가 된다. 이렇게 전지의 폭에 대한 길이의 비를 √2 ``로 택하면 반으로 자르는 과정에서 항상 이 비가 유지된다. 도형의 닮음이 실생활에 유용한 재단에 이용돼 종이의 낭비를 막고 있다는 얘기다.
A 판은 넓이가 거의 1m2 가 되도록 설계돼 있다. 원판 A0``의 넓이는 841×1189`` =``999949```` (mm2``)``인데 841×1.414````=1189.174 ``로 확인할 수 있다. B판의 원판 B0``는 1030 ×1456````=1499680````(mm2)``으로 약 1.5````(m2)`` 가 되는데, 1030×1.414````=1456.42`` 이다.
기하학이 논리적인 이유
그림의 일부를 확대한 것이 전체와 같은 모양이 될 때 자기닮음(self-similarity)이라고 하고 그런 도형을 프랙탈이라 한다. 자연을 관찰하면 이런 모양을 많이 발견할 수 있다. 자연현상에서 카오스(chaos)가 일어나는데 이 현상을 그림으로 해석할 때에도 프랙탈이 나타난다. 시어핀스키 삼각형도 간단한 형태의 프랙탈이다. 삼각형에서 출발해 중점끼리 연결한 중점삼각형을 제거해나가는 식으로 계속해나가면 시어핀스키 삼각형이 만들어진다. 이런 도형들을 연구하는 기하학을 프랙탈기하학이라 하는데 아름다운 자연을 그대로 표현하는 가장 강력한 수학이다.
그러면 이런 도형을 연구하는 기하학은 어떻게 발전했을까. 기하학은 유클리드의 원론에서 출발한다. 이것은 이집트와 바빌로니아의 실용수학의 결과를 다듬어서 체계화시킨 것으로 상당히 구조적으로 전개돼 현대 수학의 원류가 됐다. 논리적으로 따지기 좋아하는 그리스인들의 성향이 기하학에까지 묻어난 것일까. 그러고 보면 기하학의 성격, 나아가 현대수학의 성격이 논리적으로 발달한데는 그리스인들의 역할이 크다. 유클리드 기하학은 참이라고 생각되는 공리(axiom)와 공준(postulate)을 먼저 주고 삼단논법에 의해 정리(theorem)를 유도해나가는 체계를 갖는다. 예를 들어 ■■두 점은 한 직선을 결정한다.■■등의 공리를 주고 ■■삼각형의 내각의 합은 180° ■■라는 리를 증명하는 식이다. 따라서 공리와 공준(기하학적 공리)은 누구나 인정할 수 있는 명제여야 한다. 이는 현대 수학의 체계와 거의 같다. 그리스와는 다르게 다른 문명에서는 현실의 필요성에 의해 기하학이 발전했다. 예를 들어 구장산술을 보면 천문관측이나 건축을 위해 기하학을 연구했음이 나타난다.
기하학의 연구 결과는 실생활에 드러나기 마련인데 그 중 재미있는 것이 동서양에서 차이를 보이는 황금비다. 서양은 1:(1+√5 )/2≒1:1.6``를 황금분할이라 해 아름다운 것으로 여기면서 건축, 회화, 조각 등에서 이용했다. 심지어 액자, 책, 명함, 담배나 성냥갑도 황금비로 돼 있다. 하지만 동양, 특히 한국에서 기본적인 구도는 1:√2 ≒ ``1:1.4``의 비율을 따른다. 분묘의 내부, 불상, 사원 등의 중요한 건축물에 1: 1.4의 비는 거의 예외 없이 사용된다. 동서양의 미적 차이가 서로 다른 황금비를 만든 것일까.
유클리드 기하에서 위상 기하까지
유클리드 원론에 있는 것처럼 삼각형과 원에 대해 연구하는 기하학을 유클리드 기하학이라 한다. 옛날 사람들은 유클리드 기하학 이외에는 상상을 하지 못했다. 그러나 새로운 기하학이 가능하다는 사실이 밝혀졌다. 발견의 출발은 평행선 공준(■■한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점이 주어졌을 때 그 점을 지나고 그 직선과 만나지 않는 직선은 단 하나 있다. 이 직선을 평행선이라 한다■■)이 특이하게도 다른 공리나 공준으로부터 유도될 수 있지 않을까를 증명하려고 노력한데 있다. 사실상 증명이 불가능한 것을 증명하려고 노력하면서 사케리는 비유클리드 기하학의 성질들을 발견했다. 결국 유클리드 기하학의 절대 권위를 부정하는 행위, 즉 평행선 공준을 부정해 평행선이 없다는 기하학과 평행선이 무한히 많다는 기하학이 탄생하는데 이를 비유클리드 기하학이라 한다.
구면에서 대원을 직선으로 보면 평행선이 없다는 비유클리드 기하학이 되고, 단위원에서 그 원에 수직인 원이나 직선의 단위원 내부 부분을 직선으로 보면 평행선이 무한히 많다는 비유클리드 기하학이 된다. 직선을 곧은 선으로 보지 말고 공리나 공준을 만족하는 그 어떤 것으로 보는 결단이 필요했다는 것이다.
나중에 비유클리드 기하학은 가우스가 토지측량을 수학적으로 처리하면서 발전시킨 곡선과 곡면의 기하학인 미분기하학으로 편입된다.
사람의 눈은 보통 원근을 구분할 줄 아는데 이는 사영기하적으로 사물을 보기 때문이다. 레오나르도 다 빈치의 ■■최후의 만찬■■이 아름다운 것도 사영기하학적으로 원근법이 완벽하게 구현됐기 때문이다. 현재 디지털 애니메이션으로 불리는 것들도 사영기하학 없이는 탄생할 수 없는 분야다. 사영기하학이 그만큼 실감나는 영상을 만드는데 기초가 된다는 말이다.
기하학은 한마디로 공간에 대한 연구이고 이러한 기하학을 대표하는 것이 위상기하학이다. 위상기하학은 연속적인 변형에 의해 불변이 되는 성질을 다루는 기하학으로 양자역학에서 등장하는 방정식 등을 해석하는 방법론을 제공한다. 즉 게이지변환처럼 상호작용을 표현하는 함수(예를 들어 포텐셜)를 변화시키는 특정한 규칙들에 적용된다. 이 규칙에 의해 변화된 함수에 의해서도 실제적인 물리량(예를 들어 전기장)이 변하지 않으면 게이지 변환에 불변이라고 한다. 맥스웰의 전자기학 이론이 게이지 변환에 불변인 것이 알려지면서 모든 가설이 이론으로 자리잡는데 이것은 필수조건이 됐다. 산의 높이를 측정하는데서 출발한 기하학이 이제 새로운 과학 이론의 출현을 돕고 있는 것이다.
Ⅳ. 수학은 왜 어려운가?
은혜는 지금 수학 때문에 한 걱정이다. 어떻게 수학만 이리도 못할 수 있을까. 선생님이 풀 때는 잘 알 것 같다가도 시험 문제만 풀려고 하면 영 생각이 안나니 말이다. 또 어디서 많이 본 문제 같은데 어디서부터 손을 대야할지 몰라 이 문제, 저 문제에 조금씩 손만 대다 말아 버린다. 초등학교때는 수학이 쉬웠는데 왜 점점 어려워지는지. 요즘은 수학 시간만 되면 머리가 아프고 배도 살살 아프다. 그리고 수학 시간은 너무 길게만 느껴진다.
몸으로 느껴야 한다
고등학교 2학년 교실에서 ■■수학■■하면 떠오르는 말을 쓰도록 한다면 어떤 말이 가장 많이 나올까. 교사들은 구동성으로 ■■어렵다■■를 꼽는다. 정말 수학은 어려운 것일까. 장훈(한성과학고)교사에 따르면 소수의 우수한 학생들을 제외하고 대부분의 학생들에게 수학은 어렵다. 왜냐하면 수학은 형식적인 언어이기 때문이다. 특히 학년이 올라갈수록 수학을 더 어렵게 느끼는 것은 형식적인 언어의 수준이 더 높아지므로 당연한 말이란다.
대부분의 사람들은 어렸을 때 수학적인 사고를 경험하지 못한다. 이런 상황에서 갑자기 피타고라스의 정리, 수열의 합, 미분방정식을 배우는 것은 무리다. 수학자들이 오랜 시간 고민한 끝에 도달한 수많은 정리들을 수업시간 10-20분 안에 이해하기를 바라는 것 자체가 문제의 출발점이 아닐까. 장훈 교사는 이에 대해 ■■수학을 체험할 필요가 있다■■고 주장한다. 원의 면적을 πr2이라고 외우기 전에 원을 작게 잘라 직사각형 형태로 만들어 면적을 구해보고, 아르키메데스의 사고 천칭을 이용해 원기둥의 부피와 원뿔 부피의 관계를 알아내고, 회전식 수조로 피타고라스의 정리를 눈으로 보고 가슴으로 느껴야 한다는 것이다.
이것에 대해 ■■지금도 진도 나가기 빠듯한데, 언제 뭘 만들어 본다는 말인가■■라고 생각하는 교사들이 많을 것 이다. 하지만 그렇게 진도 나가서 얻은 것은 무엇일까. 남호영교사(대림여중)도 가르치는 방법이 바뀌지 않으면 수학이 어려운 과목으로만 인식되는 길을 피할 수 없다고 말한다. 이를 위해 현재 수학교사들의 움직임은 발빠르다. 수학교사들이 93년부터 ■■수학사랑■■이라는 모임을 만들어 세미나와 토론을 통해 수업 현장에서 직접 활용할 수 있는 수업 자료와 교구를 만들어 활용하고 있는 것이다. 조윤동(서초전자공고)교사에 따르면 수학사랑에서 개발된 교구와 퍼즐, 놀이와 수업안 등은 학생들이 직관적으로 수학을 느끼게 하는데 목적이 있다. 대부분의 수학교사들이 수학에서는 직관적인 인식이 중요하다는데 동의하고 있다는 것도 덧붙이면서 눈으로 보고 손으로 느끼는 수학의 필요성을 강조한다.
가장 소중한 사고 과정
그렇더라도 수학하면 빼놓을 수 없는 것이 문제풀이다. 사실 학생들이 많은 시간을 투자하는 시간 역시 문제풀이다. 수학은 기초적인 개념 위에 새로운 정의나 정리를 세워 더 고급의 지식으로 논리적으로 전개해 나가기 때문에 어떤 개념을 배운 후에는 반드시 연습해야 한다. 일부의 극히 우수한 학생들에게는 그런 과정이 필요없을지 모르지만 대부분의 보통 학생들에게는 연습문제를 풀어 그러한 유형의 문제를 익히는 일은 대단히 중요하다.
문제를 해결했다는 것은 수학적인 개념을 이해했다는 가장 명확한 증거가 된다. 하지만 수학자들이 학생들의 문제풀이에서 기대하는 것은 정답만이 아니다. 바로 어떻게 생각해 정답에 이르게 됐는가 하는 과정이다. 문제를 해결할 때 학생이 어떤 사고과정을 거쳤는가는 답보다 훨씬 중요하다. 특히 문제를 풀 때마다 기존에 알고 있던 지식만을 이용하는 것이 아니라 새로운 방법을 찾아내려고 하는 것은 수학을 통해 창의적인 사고를 경험할 수 있는 최고의 기회다.
하지만 대부분의 학생들은 문제풀이 방법을 능동적으로 생각하기 보다 교사의 설명을 수동적으로 받아들이려는 경향이 있다. 그리고 교재나 참고서의 풀이를 보며 어떻게 풀어놨는가를 눈으로 확인한다. 물론 여기서는 문제를 푼 결과만을 볼 수 있을 뿐이며, 푸는 과정과 어떻게 생각하고 문제를 풀어나가는가를 배울 기회는 거의 없다.
힘들더라도 스스로 생각을 하고 문제를 해결해야 개념을 이해할 수 있다. 그래야 다른 유형의 문제도 같은 개념이라면 간단하게 해결할 수 있다. 응용력이 길러진다는 말이다. 문제를 풀려고 할 때 어디서부터 어떻게 풀어야 할지 막막하다는 학생들의 대부분은 직접 문제를 해결하는데 대한 두려움을 안고 있다. 이것은 생각하기를 기피하는 학생들의 전형적인 특징이기도 하다.
나만의 방법으로 문제 해결
요즘 교육에서 최대의 목표는 창의성이다. 이에 대해 수학자들은 창의성을 기대할 수 있는 학문의 으뜸으로 수학을 꼽는다. 하지만 현장교사들의 지적대로 현재로는 학생들에게 수학적인 창의력을 기대하기는 어렵다. 학생들에게 어느 정도의 수학적 사고력과 수학적 문제해결력은 기대할 수 있으나 수학적 창의력까지는 기대할 수 없다는 말이다. 수학적 창의력은 창의적인 문제해결 과정을 통해 수학문제를 해결하는 능력이다. 그것은 이미 알고있는 지식, 개념, 원리, 문제해결 방법을 새롭게 관련짓거나 자신이 새롭게 문제 해결 방안을 만들어 수학문제를 해결하는 능력이다. 수학적 창의력은 가장 고차적인 수학적 사고능력이다.
그렇다면 수학적 창의력을 기르기 위해서는 어떻게 해야할까. 무슨 이론이라도 있는 것일까. 안타깝게도 특정한 이론은 없다. 단 창의력은 직관적인 능력과 관련되며, 개개인에게 가장 중요한 것은 사전에 연관성이 없던 개념들을 연관시킬 수 있도록 사고의 폭을 넓히는 것이 중요하다고 인식될 뿐이다. 이렇게 말로만 하면 수학적 창의력에 대한 느낌이 와 닿지 않는다. 간단한 문제를 통해 수학적 창의력이 낮은 수준과 높은 수준의 문제 해결을 살펴보자.
▣ 디오판토스의 방정식 문제
나는 생의 1/6은 유아로, 1/12는 소년으로, 1/7은 총각으로 살았다. 결혼한 지 5년 후 아들을 낳았고 아들은 나보다 4년전에 죽었는데, 아들은 나의 삶의 반을 산 셈이다. 나는 몇 살에 죽었는가?
<수학적 창의력이 평범한 수준의 풀이>
문제를 분석하면 선형 모형을 만들 수 있다.
x: 내가 죽었을 때의 나이, y: 아들의 나이
x/2=(1/6+1/12+1/7)x+5+4
x=84, y=42
<수학적 창의력이 가장 높은 수준인 풀이>
문제를 해결할 때 가장 창의적인 방법은 직관과 경험, 그리고 문제에 내재된 가정을 통해 푸는 것이다. 이 문제의 이면에 숨겨져 있는 가설은 다음과 같다.
나이는 0이상 100이하 정도의 양의 정수로 표현된다.
나이의 1/6, 1/12, 1/7도 정수로 표현될 수 있는 인생의 한 시점이다.
0과 100 사이에 6, 12, 7의 배수가 많지 않다.
이러한 조건에서 이들 수의 배수는 84뿐이다.
전형적인 방정식 문제를 창의적으로 해결한 예다. 남호영교사에 따르면 이러한 해결 능력은 확실한 지식과 풍부한 경험을 요구한다. 이제 문제집의 수많은 문제를 누구나 같은 방식으로 해결하기 보다 한 문제라도 나만의 방법으로 해결해보는 것은 어떨까. 국제수학올림피아드에 참가하는 학생들을 지도한 방승진교수는 우수한 성적을 거두는 학생들이라도 창의적인 측면에서는 많이 미흡한 것이 사실이라고 귀띔한다. 덧붙여 진도 중심의 수학교육 방식을 탈피해 연구주제 중심의 수학교육을 제시한다. 간단한 피타고라스 정리를 1백여 가지가 넘는 다양한 방법으로 증명해봄으로써 자연스럽게 창의적인 사고를 경험할 수 있다는 말이다.
수학에서의 남과 여
흔히 여학생은 수학을 못한다고 생각한다. 정말 그럴까. 권오남(이화여대 수학교육과)교수에 따르면 초등학교 저학년까지는 남녀의 차이가 거의 없지만 초등학교 고학년부터 중학교까지 는 남학생이 우세하고, 그 차이는 고등학교에서 점차 심화된다. 또 여학생들은 계산과 같은 낮은 인지단계의 사고를 요구하는 문제에서, 남학생들은 추론이나 다단계 문제 풀이와 같은 높은 인지 수준의 문제를 잘 해결한다. 수학적 능력의 성별차이가 학년이 올라감에 따라 가중되는 것과 같은 맥락이다. 그리고 공간능력을 필요로 하는 기하과목에서는 특히 남학생들의 능력이 뛰어나다. 이것은 남학생들이 성장과정에서 공간능력을 발달시킬 수 있는 블록이나 장난감을 접할 기회가 여학생보다 많기 때문이라고 설명될 수 있다.
또 수학을 공부하는데 있어 중요한 자신감도 남녀 차이가 크다. 남학생은 성공을 자신의 능력에 의한 것이라고 보는 반면 여학생들은 노력이나 운으로 돌리는 경향이 많다. 한마디로 여학생들은 남학생보다 자신감이 부족하다. 심지어 수학적 능력이 동등한 학생들일지라도 자신감에서는 차이를 보인다. 또 여학생들은 남학생들보다 수학의 유용성에 대해 부정적인 견해를 갖고 있다. 남호영 교사에 따르면 여학생들은 수학이 남자에게 필요한 과목이라고 생각할 뿐 아니라 자신들의 미래에 수학은 큰 기여를 하지 않는다고 생각한다. 이러한 생각은 수학을 공부하는데 가장 큰 약점으로 작용한다. 학습에 있어 자신감이나 필요성은 그 어떤 요인보다 중요하다는 것은 이미 알려진 사실이다. 나이가 들면서 점차 심화되는 수학적 능력의 남녀 차이는 교육환경과 사회문화적인 배경의 영향이 타고난 능력보다 크게 작용된 결과라고 말할 수 있다.
수학을 통해 세상의 질서를 읽으면 과학의 이론은 물론 경제분야의 흐름을 읽어낼 수 있다. 수학을 아름답다고 이야기하는 사람은 이것을 파악한 것이다. 하지만 수학은 결코 쉽지 않다. 1999년 제40회 아시아-태평양 수학올림피아드에서 금상을 수상한 박영한군(경기과학고 3년)에게도 수학은 어렵다. 하지만 박군은 어려운 문제일수록 큰 희열을 가져다준다고 말한다. 골똘히 문제에 집중하다 해결의 실마리를 찾으면 그것처럼 시원한 것이 없다는 것이다.
사실 현재 학생들이 수학을 기피하는 이유 중의 하나가 생각하기를 싫어하는데 있다. ■■학생들은 빠른 미디어 문화에 젖어있어 기다릴 줄 모르고 끈질기게 매달려 생각하려 들지 않는다■■고 말한 장훈교사의 지적도 같은 맥락이다. 남호영교사는 생각을 끈질기게 하도록 하는데 가장 방해가 되는 것은 어렸을 때부터의 학습 방법이라고 말한다. 학습지 중심으로 이뤄지는 수학 문제풀이는 학생들로 하여금 늘 정확한 답만을 요구한다는 것이다. 이것은 학년이 올라갈수록 심해진다. 중고등학생이 돼서도 항상 관심은 정답에만 있다. 남호영 교사는 ■■심지어 주어진 답이 틀리고, 자신이 옳았음에도 문제해결 과정을 체크하려 들지 않는다■■면서 정답에만 관심을 갖는 태도를 비판한다.
현재 청소년들의 가장 큰 특성은 개성이 강하다는 것이다. 이것은 수학자들도 마찬가지다. 수학자들은 다른 사람이 증명한 것을 인정하려들지 않고 자기만의 방법으로 증명하려고 한다. 그래야 무슨 정리 앞에 자신의 이름이 들어가기 때문일까. 개성이 강한 n세대들이 끈기있게 생각할 줄 아는 태도를 갖는다면 수학은 보다 많은 가능성의 미래를 열어 줄 것이다.
수학을 잘하는 방법
마음가짐
1. 실수를 두려워하지 말자.
2. 수치심을 갖지 말자.
3. 서두르지 말자.
4. 해답을 보지 말자.
5. 주관식 문제를 풀자.
행동지침
1. 수학공부는 장기전이다.
따라서 수학을 얼마나 ■■잘 하느냐■■ 보다 얼마나 ■■좋아하느냐■■ 가 중요하다.
● 갑자기 하기 힘들므로 매일 수학문제를 푸는 습관이 중요하다.
● 이해하기 힘들므로 수학공부에는 예습이 중요하다.
● 언제나 시작할 수 있으므로 수학을 포기할 필요는 없다.
2. 기초가 중요하다.
● 문제해결의 과정과 해결방법을 이해하자.
● 교과서를 잘 공부하자.
● 해답을 보지 말자.
3. 먼저 이해하고 나중에 외우자.
4. ■■외우는 수학■■에서 ■■생각하는 수학■■ 으로 전환하자.
수학문제의 해결과정
문제이해 ----> 해결계획 ----> 계획실행 ----> 반성
●문제이해
■■구하고자하는 것은 무엇인가?■■ ■■제공된 정보나 자료는 무엇인가?■■ 와 같은 질문에 답해야한다.
●해결계획
식 세우기, 그림 그리기, 표 만들기, 규칙성 찾기, 목록 만들기, 논리적 추론, 거꾸로 풀기, 예상과 확인, 가르기, 숫자를 채워서 계산하기, 특수화(극단적으로 생각하기), 열거하기 등의 방법을 계획한다.
●반성
쓰여지지 않은 조건이 있는가, 다른 풀이가 있는가, 논리적인 비약이 없었나를 검토한다. 그리고 자신의 사고과정이 논리적인가도 되짚어본다.
출처: meunae 의 블로그에서 퍼왔습니다.
"자연수는 무수히 많다." 는 것을 증명하기 위해서는 어떻게 하면 좋은가?
"자연수는 1,2,3 ..... 이렇게 한없이 이어지니까." 라는 대답으로는 충분하지 않다. 이것을 증명하는 방법은 다음과 같다.
1.자연수는 무수히 많지는 않다. 곧 유한 개밖에 없다고 가정하자.
2.그러면 모순이 생긴다.(자연수의 갯수가 유한 개이면 최대의 수 a가 있어야 하지만, a가 자연수이면 a+1도 자연수가 된다는 "약속"에 의하여 결국 a는 최대의 수가 못 된다.!)
3. 따라서 자연수는 무수히 많다.
이 방법은 어떤 주장을 부정하면 모순이 생긴다는 사실을 지적하여 결국 이 주장이 옳다는 것을 증명한다고 해서 "귀류법" 이라는 이름으로 불리어진다는 것은 앞에서도 이야기하였다.
방화 사건의 범인이라는 억울한 누명을 쓴 사람은 어떻게 하면 자신의 결백을 경찰관 앞에서 증명할 수 있을까?
"나는 절대로 범인이 아니요!" 하고 수십 번, 아니 수백 번 외친들 경찰에서는 그 말을 믿지 않을 것이 뻔하다. 이런 때, 필요한 것은 그 시각에 방화의 현장에 본인이 없었다는 사실을 증명하는 "알리바이(현장 부재 증명)"를 대면 된다. 현장으로부터 1시간 거리에 있는 친구 집에서 그 시각에 다른 사람들고 어울려 놀았다는 사실이 밝혀지면 알리바이는 성립하고 혐의를 벗어나게 된다.
"알리바이"라는 것은 "범인이라면 반드시 범행 시각에 현장에 있었어야 한다."는 생각에 "범행 시각에 현장에 없었던 사람은 범인일 수 없다."는 생각을 덧붙인 것이다. 그러니까 똑같은 내용에 관하여 정면으로부터가 아닌 뒷면에서 말한 것에 지나지 않는다.
앞에서 이야기한 바와 같이 수학에서는 이러한 배후 공격에 의한 증명 방법을 "귀류법"이라 부르고 있다. "귀류법" 이라는 이름은 아주 어마어마하게 들리지만 누구나 무의식 중에 흔히 일상적으로 즐겨 쓰는 공격법인 것이다. "만일 그렇다고 한다면, 이렇게 되어 결국 이치에 어긋나지 않는가?" 하고 따져 드는 방법이 바로 이 귀류법이다.
자연과 인공의 기하
아무것도 아닌 작은 벌레나 돌멩이 속에 놀라울 만큼 정확한 규칙이 있다. 이러한 규칙성이 어떻게 하여 자연속에 생겼을까?
사람이 만든 것과 자연의 힘으로 만들어진 것은 쉽게 구별할 수 있다. 하늘의 구름, 산, 강, 바위 등은 자연이 만든 것이며 한편 칼, 수건, 펜, 노트, 기계는 사람이 만든 것이다.
지금 여러분이 로빈슨크루소(Robinson Crusoe)처럼 어느 섬에 표류됐다고 생각하자. 해변가를 헤매다가 어떤 물건을 찾았다. 그러면 그 물건을 보고 자연히 생긴 것이냐 아니면 사람이 만든 것이냐를 알고 싶을 것이다. 사람의 힘이 가해진 것인지 또는 아닌지를 살핌으로써 그 섬이 무인도인가 아니면 어떤 사람이 살고 있는 곳인가를 판단할 것이다.
가령 펜을 두고 말한다면, 펜을 만든 사람은 미리 그 목적, 크기, 모양을 생각해 두고 물건을 만든다. 따라서 되도록 쓰기가 편리하고 만들기에 간단한 것이므로 일정한 규칙성을 가지게 되어 있다. 그러나 구름이나 강의 경우는 인간의 생각과는 아무 상관 없이 자연적으로 된 것, 말하자면 자유로운 생김새, 즉, '제멋대로' 되는 것이다. '제멋대로' 되어 있다는 것은 인공적인 규칙성을 외면한다는 뜻이다. 인간이 만든 물건의 경우, 만든 기계의 수준이 높을수록 같은 일이 되풀이되어 규칙적인 생김새를 갖는다.
책, 노트, 펜, 책상, 유리창 등의 모양은 사각형, 직선, 원통의 기하학적인, 말하자면 일정한 규칙이 있다. 또 이들은 같은 방법을 몇 번이고 되풀이해서 만들어진 것이다. 책의 각 페이지마다 있는 종이 한 장 한 장이 모두 같은 방법으로 만들어져 있다.
그러나 구름이나 돌멩이는 그렇지 않다. 구름은 하나 하나가 모두 모양이 다르고, 똑같이 생긴 돌멩이란 없다. 자연이 만든 것은 순전히 중력, 인력, 열의 복사 등 자연적인 힘만을 작용했을 뿐이며, 인간처럼 감정적인 요소는 하나도 없다.
괴물 같은 무리수의 등장
유리수의 고비를 그럭저럭 넘기면 이번에는 더 높고 험한 암벽이 길을 막아선다. 그것은 무리수라는 암벽이다. 무리수는 정말 괴상한 루트라는 기호까지 붙어 있어서 도저히 수라고 생각되지 않을 뿐 아니라 어떤 성격의 수인지도 알 수 없고 그 계산 방법도 무척이나 까다롭기 대문에 많은 학생들이 무리수의 암벽에 부딪혀 좌절감을 맛보기도 한다.
수학하면 딱딱하다는 느낌이 드는데, 억지스러운 무리수라는 것이 등장하고 나면 더욱 당혹스럽게 된다. 그러나 무리수가 왜 필요한지 그 이유를 알게 되면 무리수와도 금방 친숙해질 수 있다.
수학은 현실의 세계를 설명하는 이론이요, 학문이라고 한다면 현실 세계의 양을 모두 수로 표현할 수 있어야 한다. 그렇지 못하면 수학은 현실을 제대로 설명할 수 없는 엉터리 학문으로 전락해 버린다.
수들 가운데 1,2,3 ... 과 같은 수는 맨 처음 자연스럽게 만나게 되는 수라고 해서 '자연수'(Natural number)라고 이름 지었다. 그러는 사이에 이들 자연수끼리 뺄셈을 하고 보면 '0, -1, -2 ...'와 같이 자연수에 포함되어 있지 않았던 수가 나타나게 된다. 따라서 자연수와 이들 수를 포함해서 정수라고 이름 지었다.
다음 단계는 나눗셈의 등장이다. 정수 사이에서 나눗셈을 하다 보면 정수의 범위에 들어 있지 않았던 수가 나오게 된다.
그리스의 수학자들은 분수란 자연수들 사이의 비라고 생각했다. 가령 2/4 는 2:4 라는 것이다. 유리수에는 2 나누기 4 = 2/4=0.5 와 같은 유한소수가 있고, 그 외에도 2 나누기 3 = 2/3 = 0.666..., 1 나누기 11 = 1/11 = 0.0909... 와 같이 순환하는 무한소수가 있다는 것은 잘 알고 있다. 이들 수는 현실적인 양을 정확히 나타내는 수이다.
고대 그리스인들은 이 세상의 모든 양은 자연수나 분수를 사용해서 충분히 나타 낼 수 있다고 믿었다. 특히 피타고라스 학파는 만물을 모두 수로 나타낼 수 있다고 굳게 믿고 있었다. 그리고 그 믿음을 확인하기 위해 수학을 열심히 연구했다. 그래서 다음과 같이 어떤 선분의 길이도 수로 나타낼 수 있다고 생각했다.
그리스인들은 자연수나 자연수의 비 즉, 분수로 나타낼 수 없는 양을 무리량이라고 불렀다. 그리스인들은 무리량이 현실적으로 존재하기 때문에 그것을 인정하지 않을 수는 없었고 이것을 자연수의 비로 나타낼 수 없었기 때문에 무척 곤혹스러웠다. 말하자면 그리스인들도 무리수를 '수'로서 인정하지 못했으며 무리수를 이해할 수 없었던 것이다. 이 때문에 유럽의 수학이 발전하는 데 방해를 받기도 하였다.
그 뒤로 세월이 흘러 사람들은 무리수를 수로서 인정할 수 있게 되었다. 무리수를 나타내는 새로운 기호를 고안해내고 무리수를 근사적으로 구하는 방법도 알아냈으며 무리수가 순환하지 않는 무한소수라는 것도 밝힐 수 있었다. 그리하여 그러한 성질을 갖고 있는 무리수 사이의 연산법칙도 확립하게 되었다. 그러나 그렇게 되기까지는 많은 시간이 걸렸음을 잊어서는 안된다.
곱셈구구 속에 담겨진 재미있는 수의 성질
"곱셈구구"라고 하면 국민학교 때 아무 뜻도 모르면서 외웠던 기억이 되살아나서, 그저 맛도 멋도 없는 암산용의 계산표 정도로 여기는 사람이 대부분이다. 그러나 알고보면 재미가 없기는 커녕, 아주 흥미진진한 성질을 가지고 있다. 정말? 정말이고 말고 ! 자, 이제부터 "구구" 라는 평범한 겉치레 속에 숨은 기막힌 "지혜의 보고"를 탐험해보자.
먼저 2의 배수부터 생각해 보자. 이것들의 끝숫자는, 2,4,6,8,0,2,4,6,8,0 즉, 0,2,4,6,8이 두 번 되풀이 되고 있다. 바꾸어 말하면 1,3,5,7,9라는 숫자는 한번도 나타나지 않는다.
이번에는 3의 배수에 대해서 알아보면, 끝수는 각각 3,6,9,2,5,8,1,4,7,0 과 같이 0부터 9까지의 숫자가 한번도 반복되는 일이 없이 전부 등장한다. 같은 일이 7이나 9, 그리고 1의 배수에서도 벌어진다.
7 : 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0
9 : 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
1 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0
요컨데, 2, 4, 5, 6, 8의 구구표에서는 끝수가 되풀이되지만, 1, 3, 7, 9 인 경우에는 반복이 없고 모든 숫자가 나온다는 것. 왜 이러한 차이가 생기는 것일까? 이것이 이제부터 생각해야 할 문제이다. 두수가 공통의 솟수를 가지지 않을 때, 이 두 수를 "서로소'라고 부른다. 예를 들어 24=2x2x2x3 과 35=5x7 은 공통의 솟수를 인수로 가지지 않기 때문에 서로소이다. 여기서 주의할 것은 24, 35는 둘다 솟수가 아니라는 점이다. 그러니까 "서로소"의 관계는 두 수가 솟수가 아니어도 성립하는 것이다. 역으로 솟수인 5와 10=2x5 는 공통의 솟수 5를 가지고 있기 때문에 서로소가 아니다. 요컨데, "서로소"의 "소"는 솟수와는 직접 관계가 없다. 또 1은 어떤 수와도 서로 소의 관계에 있지 않다. (1은 아예 소인수분해가 되지 않는다!)
1단, 3단, 7단, 9단의 경우, 모든 숫자가 한번씩 끝수로 나타나는 이유는 이들 수, 즉 1, 3, 7, 9가 모두 10(=2x5)과 서로 소의 관계에 있기 때문이다. 그러나 2,4,6,8은 그렇지 않다.
문장제 대처법
계산문제는 잘 하는데 문장제를 보면 금방 머리가 혼란해진다는 학생이 많다. 계산만을 잘하고 문장제를 못하는 사람은 수학을 기계적으로 대해왔던 사람이다. 기계적, 형식적으로만, 또는 손으로만 답을 내는 것이 아니라 머리에서 참 생각을 즐기는 사람이라면, 주어진 문장제가 묻는 뜻을 이해하는 데 적극적이다. 문장제를 푸는 요령과 관련해서, G.폴리아는 명저 '어떻게 문제를 풀 것인가' 중에서 다음과 같이 충고하고 있다.
첫째로, 문제를 실감있게 파악하기 위해 살아 있는 현실의 문제를 생각하여야 한다.
둘째로, 항상 "나라면 어떻게 할까?"를 마음에 두고 생각해야 한다. 교과서나 참고서에 실린 '남'의 생각을 기억해 내려고 애쓸 필요는 없다. 그런 것은 일시적인 편법에 지나지 않는다. 중요한 것은 '내 자신'의 생각이다.
셋째로, 한 가지가 아니라. 두가지나 세 가지 관점에서 생각하는 습관을 몸에 배도록 해야 한다.
넷째로, 우선은 세부적인 내용을 무시하고, 전체의 큰 줄기를 파악한다.
다섯째로, 전체의 흐름을 파악한 다음에는 세부적인 내용에 함정이 없는지 살펴야 한다.( 이 순서를 거꾸로 하면, 문장제 해결 능력을 갖추지 못한다.)
여섯째로, 추리력을 길러야 한다. 추리력을 기른다는 것은, 앞에서 이미 얻은 지식(정의나 정리 등)을 발판으로 하여 문장제를 푸는 열쇠를 찾는다는 뜻이다. 가령, "비슷한 문제를 알고 있는가, 이 문제를 푸는 데 도움이 되는 정리를 알고 있는가?", 문제를 바꾸어 표현할 수 있는가?," "주어진 문제를 풀 수 없으면, 이와 관련된 문제를 풀어 본다." 는 등이다.
이상을 염두에 두고, 다음의 순서로 생각해 나가면 될 것이다.
(1) 문제는 반드시 풀릴 수 있도록 만들어져 있다. 자신감을 갖고 천천히 읽어 가면서, 천천히 상황에 맞는 그림을 그려 본다.
(2) 구하고자 하는 것을 x 로 표시한다.
(3) 문제를 천천히 읽으면서 필요한 조건을 모두 빠짐없이 써넣는다.
(4) 문제 내용을 토막으로 나누어 생각하면서 식을 세운다
15분이면 복습은 충분하다
수학 공부에서 가장 중요한 것은 학습 내용을 집에 돌아오자마자 금방 복습하는 일이다. 시간을 조금이라도 지체하면 복습하는 일이 그만큼 어려워지기 때문이다. 이렇게 말하면 귀찮다거나 수학뿐만 아니라 해야 할 공부가 많다는 학생이 있을 것이다.
하지만 실지로 복습하는 일은 그렇게 시간 걸리지 않는다. 이미 수업 시간에 한번 들었던 내용인 만큼 집에서 복습을 하면 1시간의 수업 내용이라면 10~15분 정도면 충분히 끝난다. 수업에 귀를 기울이다 노트에 빠뜨린 글자나 숫자. 기호 등이 있을 수 있다. 그것을 수정하면서 내 자신의 말로 반복하고 이해할 수 있도록 하는 것이다. 그것을 수정하면서 내 자신의 말로 반복하고 이해할 수 있도록 하는 것이다. 단 몇 분 동안의 복습으로 끝나는 것을 그냥 팽개쳤다가 나중에 처음부터 다시 시작한다는 것은 엄청난 손해이다.
복습이 중요하다는 말은 초등학교 1학년 때부터 자주 들어왔지만 대부분의 학생은 복습이 왜 필요한가에 대해 생각해 본 적이 별로 없다. 복습은 학습의 마무리 작업이라는 것을 잊어서는 안된다. 숙제가 주어지면 되도록이면 빨리 치르는 것이 좋다. 금방 배운 내용을 복습하기 때문이다.일단 배운 내용은 복습을 통해 완전히 이해함으로써 자기 것이 된다. 배운 직후에 복습하는 일은 배운 내용을 다시 한번 상기시켜 잊지 않게 해준다는 점에서 아주 효과적이다.
독일의 심리학자 에빙하우스(H. Ebbinghaus: 1850~1909)는 '기억에 관해서'(1885)라는 매우 흥미있는 책을 썼다. 그 연구 결과에 의하면 인간은 20분 후에는 배운것 중의 거의 1/2을, 하루가 지나면 2/3 정도를 잊어버린다. 2일 후에는 69%, 15일 후에는 75%, 그리고 한 달 후에는 78%를 잊어버린다. 요컨데 한 달 후에는 배운 내용의 22% 정도에 불과한 내용밖에 기억하지 못한다는 결론이다. 그러나 일단 배운 냐용을 그 직후에 복습하고 또 그후로도 정기적으로 복습한 사람은 80% 정도는 기억한다는 것이다.
배운 직후에, 그리고 일주일에 한 번씩 복습한다면 놀라울 정도로 실력이 높아진다는 이야기이다. 뇌 속에는 기억 회로와 같은 장치가 있다. 새로 흡수한 지식(정보)은 일시적인 단기 기억 속에 저장된다. 그것을 학습 직후에 복습하면 이 회로가 활성화되고 기억이 강화됨으로써 일시적인 기억이었던 것이 장기적인 기억으로 바뀌어 진다. 일단 장기적 기억이 뇌에 정착하면 그 후 상당한 시간이 지나도 잊혀지는 일은 거의 없다.
실력을 올리는 것은 과외 공부가 아닌 적절한 복습의 습관 하나만으로도 훌륭하게 유지되는 것이다.
'배운 것은 복습하고 그후에도 복습을 되풀이하라.'
그러나 복습은 '톱밥에 톱질' 하듯이 똑같은 일을 되풀이하는 것은 결코 아니다. 이런 것은 복습이라기보다 제자리 걸음밖에 되지 않는다. 복습은 처음 배웠을 때보다 더 깊이 내용을 파악하고, 아울러 그 응용을 생각함으로써 학습 양이 나선형으로 확장되는 것이다.
복습할 시간이 없다고 불평하는 것은 핑계에 지나지 않는다. 이미 말한 바와 같이 복습을 하는 데에는 시간이 걸리지 않는다. 수업 직후에 하면 15분 정도면 간단히 해치울 수 있다. 며칠 후에 복습을 하게 되면 우선 수업 내용을 다시 자세하게 검토해야 하고, 그 내용을 이해하는 데만도 시간이 걸린다. 뒤로 미루면 미룰수록 귀찮아지고 시간 낭비가 된다
주사위는 왜 여섯 면일까?
동전이 없었던 옛날에 사람들은 주사위 같은 물건을 사용해서 운을 시험하곤 했지요.
약 5000년 전에 지금의 중동지방에는 '우르'라는 나라가 있었어요. 이 나라 사람들은 피라미드라는 조그만 물건을 굴리는 게임을 했어요. 피라미드라고 하면 이집트의 피라미드처럼 거대한 것을 생각하지만, 조그만 것도 있어요. 각 면이 정삼각형으로 된 정사면체를 피라미드라고 부르지요.
우르에서 쓰던 피라미드는 각기 다른 숫자가 적혀 있었고 귀퉁이에는 색이 칠해져 있었어요. 나중에 이집트에서는 원숭이 모양의 조그만 돌을 굴렸지요. 또 아프리카에서는 견과(단단한 나무열매)나 조가비 껍질을 색칠해서 던지는 게임을 했어요. 그것들이 땅에 떨어진 모양을 보고 점수를 매기는 방식이었지요.
오늘날에는 점들이 찍힌 입방체 모양의 주사위를 사용하고 있어요. 주사위는 똑같은 크기와 모양으로 된 여섯 면을 가지고 있어요. 그래서 어느 면이 특별히 다른 면들보다 많이 나오지 않아요.
면이 여섯 개 이상인 주사위를 가지고도 게임을 할 수 있을까요? 할 수 있지요. 모든 면이 똑같다면 가능해요. 12면 주사위도 있고 20면 주사위도 있어요. 하지만 6면 주사위가 잡기에도 쉽고 만드는 비용도 덜 들지요.
# 역사상식문제
1.신석기의혁명 신석기에는 통일신라의 놀라운 농사법 x경이 이루어졌다.(답 화경)
2.고조선의 험한 3가지의 법의 이름은?(확실한법은8가지라전해진다.)답:팔조금법
3.기원전192년 중국에서 온 2글자의 이름 장군이 고조선의 신하가 되고싶어 왔다. 준왕은 그를 충신이라 생각하고 기원전194년에는 서쪽을 지키던 2글자의 이름 장군이 고조선의 도읍인 왕검성으로 쳐들어가 준왕을 내쫓고 스스로 왕위에 올랐다. 이의 장군 이름은? 답:(위만)
4.고조선이 위만이 즉위하고 이가 우거왕이다. 하지만 고조선의 마지막 왕이 된다. 고조선은 자기나라의 사신이 죽자 한나라의 섭하에게도 죽음을 내렸다. 그렇게 한나라는 육군x만명수군xxxx명을 이끌고 고조선을 공격했다. 육군과 수군의 군사는? 답:(육군5만여명 수군 7000여명)
5.고조선의 멸망직전 x신하가 우거왕을 살해한다. 이 신하의 이름은? 답:(삼)
6.그리고 고조선의 왕자는 성기장군이 지치고 있는 성으로 갔는데. 대도록 빨리 전쟁을 끝내고 싶었다. 여기서 고조선은 xx의 x보다 xx의 적이 xx다. 답:(외부의적보다 내부의 적이 더 무섭다.)
7.기원전108년에 고조선이 멸망하자 한나라는 옛 고조선 땅에 군현을 설치해 우리민족을 감시했다. 군현의 뜻은? 답:(한나라 때 중앙 정부에서 벼슬아치를 보내 감시하던 지역)
8.부여,우리 역사의 뿌리라는 말을 갖게된 이유는? 답:(부여는 만주 쑹화 강 가까이에 있는 평야 지역을 중심으로 성장했고 또한 부여에서 탈출한 주몽이 고구려를 세우고 고구려제19대왕 광개토대왕때는 64개의 성을 빼앗겨 얼마 못가 494년에 완전히 멸망한다.)
9.부여는 중앙의 왕과 사출도의 우두머리인 4명이 가가와 함께 다스리는 나라였다. 벼슬은 대부분 마가 우가 구가 저가 라 했다. 가축의 이름으로 한이유는? 답:(부여는 가축으로 유명하고 평야아서 귀한게 자기나라에 많아 거의 가축이름으로 벼슬을 정했다.)
10.엄했던 부여의 법은 어느나라와 비슷할가? 답:(고조선)
11.부여에서 노예의 주인이 죽으면 노예도 같이 생매장을 하는데 이 장을 뭐라할가? 답:(순장)
12.옥저의 유명한 특산물은? 답:(소금)
13.옥저의 동쪽으로 있는 동예는 무슨 특산물이 유명할가? 답:(단궁,과하마)
14.고조선이 멸망한후 그 땅에 세워진 나라는? 답:(부여,고구려,옥저,동예,진한,마한
15.주몽이 부여에서 탈출할때 몰래숨어있는 자객에게 죽음을 당할뻔할때 구해준 부족이름은? 답:(계루부족)
16.삼국의경쟁중 한강을 첫번째로 차지한 나라는? (백제1대왕 온조왕)
17.삼국의경쟁중 한강을 두번째로 차지한 나라는? 답:(고구려장수왕)
18.삼국의경쟁중 한강을 세번째로 차지한 나라는? 답:(신라 진흥왕)
19.백제에서 6좌평 16관등이란 체제를 마련한 왕은? 답:(제8대왕 고이왕)
20.신라의 시작은? 답:(사로국)
-----------여기서는 이제 삼국의경쟁의 초가 끝났습니다. 다음은 중기와 후기로 넘어가겠습니다.
21.삼국통일을 이룩한 신라의명장은? 답:(김유신)
22.고구려 최대의 전성기를 이룬 제 20대 임금은? 답:(장수왕)
23.백제와 신라가 나진동맹을 맺자. 고구려가 백제로 보낸 첩자는? (승려 도림)
24.진흥왕은 어린나이에 즉위하니 진흥왕11년 그시대에 같은 삼국중기의 영웅이었다, 백제의 이 영웅의왕은? 답:(성왕)
25.진흥왕은 이사부 장군에게 백제와동맹을 연합을 하고 2개의 성을 빼앗게하고 하고 군사 1천여 명을 주둔했다. 이성의 이름은? 답:(금현성과 도살성)
26.그리고 이듬해인 백제와 연합하여 고구려를 공격해 xx유역을 빼앗는 승리를 거둔다. 이 유역의 지역은?
답:(한강)
27.진흥왕은 백제와 나진동맹을 깼는데 이때보낸 장군의 이름은? 힌트:나진동맹을 깰때군주임
답:(김 무 력)
28.백제의 성왕은 분노하여 공주를 시집보내고 신라를 안심시켰는데....백제는 태자와 성왕은 관산성을 침략했는데 신라의 진흥왕은 그 예상을 했는데 이때 관산성의 전투로 백제군이 입은 피해는?
답:(성왕을 비롯해 좌평 4명과 약3만명의 군사를 잃었으며 이후 한강 유역을 차지하지 못했다.
29.선덕여왕이 즉위한 큰 까닭은? 답:(모란꽃 사건)
30.무열왕이 선덕여왕이 다음 왕으로 즉위하는데 어떻게 진골이 즉위했을가? 답;(신분제도가 철저해서 그랬고 골품제도에선 임금이 될 수 있는 신분은 성골이야 했다.하지만 김춘추는 큰공을 많이 세웠기에 김유신이 즉위시켰다.)
---------------------------여기서까지 삼국의 경쟁이 끝났습니다.--------------------
고려시대 시작합니다.
31.고려제4대임금으로 우리나라 역사중 과거제를 최초로 시작했다, 답:(광종대왕)
32.무신정변을 일으킨 장군은? (정중부)
33.거란의침입을 물리친 고려의 외교가는? 답:서희장군
34.여진을 정벌하고 별무반이라는 군대를 세우고 9성을 세웠다. 이장군은? 답:윤관
35.몽골과 강화를 맺은 뒤에도 끝까지 대몽항쟁을 펼쳤다. 이조직은? 답:삼별초
36.고려제 31대 임금으로서 옛 고려땅을 되찾았다. 답:공민왕
37.서경천도운동을 펼친 승려는? 답:묘쳥대사
38.궁예가 왕건한테 내쫓길대 마지막 국호는? 힌트:궁예는 자주 국호를 바꿧음) 답:태봉
39.왕건이 궁예를 내쫓게 해준 장군들은? 힌트:총4명 답:홍유장군 배헌경장군 신숭겸장군복지겸장군
40.919년 태조는 xx으로 도읍을 옮기고 신라에 대해서는 화친정책을 펴 나갔다. 이 도읍의 이름은? 답:송악
41.935년 후백제에서의 계속되는 왕위쟁탈권때문에 견휜은 제발로 고려에 xx했다. 이는? 힌트:적이었던 사람이 반항심을 버리고 스스로 돌아서서 복종하거나 순종함 답:귀순
42.견휜이 귀순하고 같은해 신라도 고려에 항복할생각이였다. 하지만 태자는 반대하였고 결국 경순왕은 고려에 항복했지만 태자는 그길로 금강산에 들어가 일생을 마쳤다. 평생 삼베옷을 입고살았다고해서 xx태자라한다. 이는? 답:마의태자
43.견휜은이제 슬슬 고려로 통일을 시킨다는생각으로 고려군과 함깨 후백제를 공격했다. 처음에는 견휜이 고려군을 이끄는것을보고 사기가꺾여 재데로 싸우지못하고 대패했고. 결국 신검이 항복함으로써 후백제는 나라 세워진지 xx년만에 멸망했다. 이 년은 몇십년? 답:(40년만에 멸망)
44. 1번은 쉬겠습니다. 힘들어요 ㅠㅠㅠㅠㅠ2시간동안하니까
45.그리하여 태조왕건은 9x6년에 후삼국을 통일하고 새나라 고려의 주인이 되었다. 이는 몇년일가? 답:936년
46.태조왕건은 박술희장군에게 xx10조를 건냈다. 이10조는? 답:훈요10조
47.고려의 개혁 정치를 편 왕은? 답:광종
48.고려제5대왕으로 최승로가 올린 xx28조다 이조의 이름은? 답:시무28조
49.경종은 정치조직도 새로이 마련하니2성x부제다. 이부제는? 답:2성6부제
50.몽골이 쳐들어왔을때 북쪽을 막은 위대한 장군으로서 불화살의 지략을 가르켜주고 대우포란 칼을 만든장군은? 답:박서장군과김경손장군으로서 귀주성을 지켰다.
1.거란의 침입을 막기위하 염원을 담아 만든 최초의 대장경은?
초조대장경
2. 팔만대장경이 보관되어 있는 건물로 세계 문화유산에 등록되어 있는것은? 합천 해인사 대장경판
합천 해인사 경내의 2동(棟)의 경판고(經板庫)에 보관되어 있다.
[ 지식백과] 해인사 대장경판[海印寺大藏經板] (두산백과)
3.지금까지 남아있는 역사책중 가장 오래된 것으로 유교적인 역사관에 의해 씌여진 것으로 김부식이 쓴책은? 삼국사기
4.지금까지 남아있는 세계에서 가장 오래된 금속 활자본으로 세계기록문화유산에 등록되어있는것은? 직지심체요절
5.몽골의 간섭이 심해지자 민족의 자긍심을 되살리기 위해 일연스님이 쓴역사책은? 삼국유사
6.몽골초원에서 유목생활을 하던 몽골족을 통일하고 고려에 공격을 당한사람은? 질문이 잘못된 것 같아 바꿔서 답하겠습니다.
몽골족 통일은 칭기즈칸이고, 고려로의 침입은 그의 아들 2대 황제(칸) 오고타이가 시작합니다.
7.처음엔 최씨 무신정권의 이익을 위한 사병집단이 있었지만 나중에는 끝까지 몽골에 저항하는 세력이 있었던 집안과 그 지휘자는?
삼별초, 삼별초 지휘자 배중손 -->김통정
8.원나라가 철령 이북에 설치하여 그 지역의 땅을 직접 다스리던 기구는?
쌍성총관부
9.고려후기 공민왕은 자신의 개혁정책으로 이끌어줄 인물로 내세운 인물로 내체운 승려 출신인 사람은? 신돈
1. 문자를 사용하기 전의 시대를 무엇이라고 하나요?
A: 선사시대
2. 선사 시대를 구분하는 것은 무엇인가요?
A: 사용한 도구에 따라
3. 전성기를 먼저 이룬 나라부터 차례대로 쓰시오.
A: 백제-고구려-신라
4. 삼국 통일을 하는데 큰 일을 한 사람은 누구 인가요?
A: 김춘추
5. 고구려를 계승한 나라는 어느 나라입니까?
A: 발해
6. 궁예, 견훤이 새운 나라의 이름을 차례대로 쓰시오.
A: 후고구려, 후백제
7. 궁예를 몰아내고 고려를 새운 사람은 누구인가요?
A: 왕건
8. 후삼국을 통일한 나라는 어느 나라인가요?
A: 고려
9. 고려는 여자와 남자의 차별이 있었나요?
A: 없었다.
10. 고려와 가장 많이 교류하고 지낸 나라는 어느 나라입니까?
A: 송나라
1.선사시대중 뗀석기를 사용한 시대는 어느시대일까요? 답:구석기 시대
2.구석기시대때 구석기인들은 어디서 지냈을까요?답:바위밑이나 동굴
3.신석기시대에서는 무슨 도구를 주로 사용했나요? 답:간석기
4.청동기시대는 청동기를 만들어 사용 했죠,그럼 청동기로 만들어진 검이름은 무었일까요? 답:비파형동검
5.단군왕검의 아버지,어머니는 누구일까요?답:아버지:환웅 어머니:웅녀
6.삼국시대중 가장 먼저 전성기를 이룬나라와 사람은 누구일까요? 답:백제,근초고왕
7.신라는 몇세기에 전성기를 맞이 하였나요? 답:6세기
8.후고구려를 세운사람은 누구인가요?답:궁예
9.고려는 어떤 전투에서 후백제군에게 패했나요?답:공산전투
10.고려의 문화재중 해인사에 보관되어있는 문화재는 무엇일까요? 답:고려대장경도 되고 8만 대장경도 됩니다
1.수나라에 이어 중국을 통일한 왕조는 당나라 입니다.
안시성 싸움에서 당나라는 왜 고구려를 침략했슨니까?
1)고구려를 정복하여 세력을 넓히기 위해서
2)귀족들이 나랏일에 관여하지 못하게 하기 위해서
3)심심해서
4)그냥
5)당나라가 우수한 나라임을 알리기 위해서
답:1)
2.삼국 통일 후 신라는 00을 통해 국민 단격을 이루었는데 00은?
답:불교
3.발해는 일본과 교류했으나 신라와는 교류가 적었다.그 이유는?
답:신라가 고구려를 멸망시켰기때문에
해설:발해는 고구려를 계승한 나라이다.
4.발해는 00지역에 있는 000을 중심으로 세워졌다.00과000은?
1)만주,공모산 2)만주,농모산
3)만주,동모산 4)만주,지린
5)만주,롱모산
답:3)
5.통일 신라가 쇠퇴한 이유는?
답:신라 귀족들간의 왕위 다툼.
6.고구려의 살수대첩과 안시성 싸움에서 큰 공을 세운 두 장군의 이름을 쓰시오.
답:을지문덕 연개소문
7.고려의 도읍과 가까웠던 지역으로 고려의 국제적인 무역항은?
답:벽란도
8.긍예는 나라의 이름을 00(으)로 바꾸고 00(으)로 바꾸었다.00은?
답:태봉,철원
9.고려사람들은 중국에서 배워 온 도자기 기술을 발전시켜 '이것'을 만들었는데 이것은?
답:상감청자
10.견훤은00에 도읍을 정하고 후백제를세웠고,궁예는 @@에 도읍을 정하고 후고구려를 세뤘다.
00과 @@은? 답:완산주(전주),송악(개성)
살수대첩의 영웅은 누구일까요?
답:을지문덕
이순신이 외군과 싸운곳은 어디일까요?
답:전라남도 해남군 울돌목
1. 우리나라최초의 국가는 답 고조선
2. 우리나라 건국실화에는 알에서 태어났다는 인물이 많은 이유는 여러가지 이유가있지만
자신들의 나라를 신성시하기 위해 왕권을 강화하기위해등이 있습니다
3. 청동기 시대이후 발전한 농기구는 답 철기 참고 최초의 4.인류가 최초로 도구를 사용하며
도구가 발전해온순서 땐석기시대 간석기시대 청동기시대 철기시대 5. 신분제도가 생긴시대는
답 청동기시대 6.삼국이 건국된순서 답.신라 고구려 백제 7. 고구려 백제 신라중 건국신화가 없는나라는
백제 8. 삼국이 전성기를 맞은순서 백제 4세기 근초고왕때 고구려 5세기 광개토대왕 장수왕때 신라 6세기(가장늦게 전성기를 맞음) 9. 삼국이 가장 치열하게 차지하려했던 전랙적 요충지는 답.한강
10.삼국을 통일한나라는 답.신라
11.삼국의 나라건국과 멸망시기 백제 고구려700년 신라992년
12.각 나라의 마지막왕은 고구려 보장왕(28대왕) 백제 의자왕(32대왕) 신라 경순왕(58대왕인가? 정확히기억이 안남니다 죄송)
우리 조상님 자랑좀 지금부터 모든 문제는 우리조상님 관련문젭니다 참고로 저는 밀양손씨
13.동학농민운동의 지휘관이자 동학3대교주며 민족대표33인중한명인 인물은 답.손병희
14.일제강점기때 마라톤선수로 올림픽신기록을 세우고 일본기를 월개수잎으로가릴 조선인 마라톤선수는
답.손기정
출처:
