몬티홀의 문제

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1. 1/3 게임에서 내가 한 곳을 선택하고 나면 게임 진행자가 남아 있는 두 곳중 상품이 없는 한 곳을 오픈 후 첫 선택을 바꿀 기회를 준다고 " 내가 첫 선택을 하기 전에 " 게임 진행자가 나에게 약속을 하였다면 : 첫 선택 바꾸면 2/3 ​ ( 이유는, 내가 참여하는 게임이 " 1/3 게임 " 에서 " 캉호홀 게임 " 으로 바뀌었기 때문 ) ​ ​ * 캉호홀 게임 * 내가 세곳 중 한곳을 선택하고 나면, 게임 진행자가 남아 있는 두곳 중 상품이 없는 한곳을 오픈 후 첫 선택을 바꿀 기회를 주는 게임 ​ ​ < 상품이 1번에 있다고 가정할때 > 내가 1번 선택, 게임 진행자 상품이 없는 한곳 오픈, 바꾸면 X 내가 2번 선택, 게임 진행자 상품이 없는 한곳 오픈, 바꾸면 O 내가 3번 선택, 게임 진행자 상품이 없는 한곳 오픈, 바꾸면 O ​ ​ ​ 2. 내가 1/3 게임에 참여하여 한 곳을 선택하고 난 후 게임 진행자도 상품의 위치를 모르는 상황에서 남아 있는 두 곳중 한 곳을 오픈 하였는데 그곳에 상품이 없고 이 상황에서 나에게 바꿀 기회가 주어졌다면 : 1/2 ​ ( 이유는, 게임 진행자가 한곳을 오픈 할때 상품이 있는 곳이 오픈되어 게임이 끝날 수 있었기 때문 ) ​ ​ ​ < 상품이 1번에 있다고 가정할때 > 내가 1번 선택, 게임 진행자 2번 오픈, 바꾸면 X 내가 1번 선택, 게임 진행자 3번 오픈, 바꾸면 X 내가 2번 선택, 게임 진행자 1번 오픈, 게임종료 내가 2번 선택, 게임 진행자 3번 오픈, 바꾸면 O 내가 3번 선택, 게임 진행자 1번 오픈, 게임종료 내가 3번 선택, 게임 진행자 2번 오픈, 바꾸면 O ​ ​ 그런데 ​ 3. 내가 1/3 게임에 참여하여 한 곳을 선택하고 난 후 게임 진행자가 상품의 위치를 알고 있는 상황에서 한 곳을 오픈 후 나에게 첫 선택을 바꿀 기회를 주었다면 : 심리전 ​ ( 이유는, 나는 1/3 게임에 참여 하였으니 당연히 게임 진행자는 1/3 게임에서 게임을 끝낼 수 있었기 때문 )​ ​ ​ ​ ​몬티홀 문제의 확률은 오답입니다. ​ ​ 몬티홀 문제에 오답이 나오는 이유는... ​ 3의 상황 : 1/3 게임에 참여하였다가 선택의 기회를 한번 더 가진 상황 ( 몬티홀 문제, 심리전 ) 1의 상황 : 선택의 기회를 두번 가지는 게임에 참여한 상황 ( 캉호홀 게임 , 첫 선택 변경시 2/3 ) ​ 이 두가지 상황에서... ​ 3의 상황을 제3자에게 하는 질문과 1의 상황을 제3자에게 하는 질문이 동일 할 수 있다 보니 ( 이 부분에 대한 상세한 설명은 아래 링크 글 " 1.착각 / 2. 함정 " 편 참고 ) ​ 몬티홀 문제를 접한 제3자가 게임 참가자 입장에서 해답을 찾는 과정에서 3의 상황과 1의 상황을 구분하지 못하고 혼동하여 3의 상황인 몬티홀 문제를 1의 상황으로 착각하기 때문입니다. ​ ​ 다시 말해서 ​ 몬티홀 문제를 접한 사람이 문제 해결을 위해 " 게임 참가자가 1/3 게임에 참여해서 한 곳을 선택했고 그리고 나서 게임 진행자에 의해 상품이 없는 문 한 곳이 오픈되고 난 후, 바꿀 기회를 가진 그 상황 " 을 가지고 ​경우의 수를 따질때 ​ 3개의 문이 모두 닫힌 상태에서 경우의 수를 따지기 시작하다 보니 게임 참가자가 첫 선택을 하기 전 상황으로 다시 돌아가 버리게 되고 ​ * 주의 * ​ 게임 참가자는 3곳중 1곳을 선택하고 난 후에 첫 선택을 바꿀 기회를 가진 상황이므로 절대 바꿀 기회를 가지고 3곳중 1곳을 선택하기 전 상황으로 다시 돌아가면 안됨 ​ ​ 이렇게 바꿀 기회를 가지고 ​ 게임 참가자가 바꿀 기회를 가진 그 시점 아닌 게임 참가자가 " 첫 선택을 하기 전 상황 "으로 다시 돌아가게 되면 ​ 3의 상황인 몬티홀 문제가 1의 상황이 되어 버리고 ​ 이렇게 몬티홀 문제를 1의 상황으로 착각하게 되면, 이 사람들에게 이 문제는 초딩도 이해할 수 있는 단순 확률 문제가 되어 버리고 ​ 그렇지 않은 사람들은 도저히 그 확률을 받아 들일 수 없어서 몬티홀 문제가 몬티홀 딜레마 , 몬티홀 역설 등으로 불리어지며 유명한 확률 문제가 된 것입니다. ​ ​ 참고로, ​ 몬티홀 문제의 오답을 검증하는 방법은 간단합니다. ​ 3명의 참가자가 세곳의 선택지를 각자 한 곳씩 선택해 보면 됩니다. ​ 3명 중 1명이 탈락하고 나서 남은 2명에게 서로 맞 바꿀 기회를 줄때 바꾸는 것이 유리한 사람은, 게임 진행자가 첫 선택을 바꿀 기회를 준다고 미리 약속된 사람 , 즉 " 캉호홀 게임 " 에 참여한 사람이며, ​ 만약, 3명이 한 곳씩 선택하기 전에 그러한 약속을 한 사람이 없다면, 남은 두 사람에게 이 상황은 몬티홀 문제 , 즉 " 심리전 " 상황이 되는 것입니다. ​ 다시 말해서, ​ 게임 진행자가 나에게 상품을 주고 싶어 한다고 판단하는 사람은 바꾸길 원할 것이고, 그렇지 않는 사람은 바꾸기 싫어 할 것이며 ​ 당연히 이 경우는 서로 합의가 안되면 바꿀 수 없습니다. ​ 그리고 만약, 게임 진행자도 상품의 위치를 모르는 상황에서 이러한 일들이 벌어졌다면, 서로 상품을 가질 확률이 1/2로 같으니 바꾸는 것이 의미가 없고 그냥 행운이 따라주길 바래야 겠죠! ​ 상세한 설명은 아래 링크를 참고 하시길 바라며, 특히, 아래 링크 글 " 4 와 5 논쟁 " 편은 꼭 읽어 보시길 권합니다. http://blog.naver.com/wangcho32/220606828328 ​ 원확률 가확률 진확률

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