전자껍질=전자궤도=양자수 ????

 이 개념을 정확하게 아시려고 하면 양자역학이나 양자화학을 조금 공부를 하셔야 합니다.

 

간단하게 설명드리자면,

양자수에는 크게 4가지가 있습니다. 주양자수(Principle quantum number), 부양자수(Angular momentum quantum number), 자기양자수(magnetic quantum number), 스핀양자수(spin quantum number) 가 되겠습니다. 이 4가지의 양자수가 가질 수 있는 숫자는 정해져 있는데, 그 해당숫자에 따라 전자의 궤도가 정해진다고 보시면 되겠습니다.

 

전자궤도는 바로 부양자수에 가장 직접적인 영향을 받게 되는데요, 부양자수가 0일 경우에는 구형인 s 오비탈이, 1일때는 아령형인 p 오비탈이, 2일때는 d 오비탈, 3일때는 f 오비탈... 이런 전자궤도를 가지게 됩니다.

 

전자껍질은 정확히 말하면 주양자수에 영향을 받게 됩니다. 주양자수가 바로 전자 껍질의 개수가 되기 때문이지요. 주양자수가 1일때는 K껍질, 2일때는 L 껍질... 이런식으로 명명하게 됩니다.

 

그러면 왜 저런 4개의 양자수가 생겨나게 되는 것일까요?

이것을 이해하려면 양자역학의 개념이 필요합니다.

(아래 내용이 너무 어렵다고 느껴지시면 굳이 이해하지 않으셔도 상관 없습니다...)

 

기본적으로 양자역학에서는 슈뢰딩거방정식을 풀음으로써 파동함수를 얻을 수 있게 되며

파동함수의 가장 기본적인 성질 중 하나가 파동함수의 제곱이 바로 확률분포가 된다는 점입니다.

또한 파동함수에 어떤 수학적인 연산자를 가하게 되면 우리가 원하는 물리적인 정보를 얻을 수 있습니다.

슈뢰딩거 방정식은 보통 다음과 같은 모양으로 생겼습니다.

여기서 m은 질량, h bar는 플랑크 상수에다가 2π를 나눈 상수이고, V(x,y,z)는 위치에너지(potential energy)이며, ψ는 파동함수, E는 에너지를 의미합니다.

물론 파동함수 자체는 시간과 위치에 대한 의존성이 존재합니다.

하지만 보통 원자의 세계에서는 시간에 따른 파동함수의 변화가 거의 없다고 보고, 시간에 독립적인 슈뢰딩거 방정식을 풀게되며, 해당 방정식은 이차미분방정식이 됩니다.

시간에 의존하는 슈뢰딩거방정식을 푸는 경우도 있는데, 이 때는 분광학의 결과를 설명할 때 상당히 유용하게 쓰게 됩니다.

참고로 위에 적은 대괄호[]에 해당하는 부분이 수학적인 연산자에 해당하게 되며, 특히 위에서 어떤 수학적인 연산을 하였을 때 에너지가 나오게 되는 특별한 연산자를 해밀토니안(Hamiltonian)이라 부릅니다.

물론 다른 정보를 얻어낼 수 있는 연산자들도 존재합니다.

 

이제 저것으로 어떻게 양자수를 얻어낼 수 있는가 하는 문제가 남아 있는데요,

간단한 수소원자의 경우, 위에서는 (x,y,z)라고 해서 공간좌표를 사용하였지만, 수소원자를 설명할 때는 가운데에 핵이 있고, 주변에 전자가 일정한 거리 r에서 돌고 있는 모형을 생각합니다.

이 때 핵과 전자 사이에는 쿨롱의 힘이 작용하고 있으며, 이것이 위치에너지 항에 들어가게 됩니다. 이렇게 되면 공간좌표를 사용하는 것이 상당히 계산하기가 불편하게 되어 사람들이 구면좌표계(Spherical coordinate)를 도입하고, 이것을 통해 해당 슈뢰딩거 방정식을 풀게 되면 Radial part(R)와 Angular part(Y)로 나눌 수 있게 됩니다.

여기서 Radial part는 핵과 전자 사이의 거리에 따른 파동함수를 제공해 주는데, 이 함수에서 주양자수와 부양자수가 생성되게 됩니다. 또한 2s 오비탈에서 중간에 마디(node)가 생기게 되는 것도 설명을 할 수 있습니다. Angular part에서는 부양자수와 자기양자수가 생성되게 되는데요, 특히 이 부분은 전자의 각운동량과 밀접한 관련이 있기 때문에 이것이 전자가 공간상에 어떠한 모습으로 나타나는지 알 수 있게 됩니다. 해당 부분은 수학적으로 상당히 복잡한 식이 얻어지는데, 이를 Spherical harmonics라고 부릅니다. 이 Spherical harmonics를 구해 그래프를 그려보게 되면, 부양자수가 0, 1, 2로 변해감에 따라 s오비탈, p 오비탈, d오비탈을 얻을 수 있게 됩니다.

 

스핀양자수의 경우에는 relative quantum mechanics라고 해서 Dirac이라는 사람이 개발한(?) 것을 알아야 합니다. 그러나 해당 설명은 아인슈타인의 상대성이론에 대한 이해가 조금 필요로 하기 때문에 설명은 생략하도록 하겠습니다. 이 Dirac의 방법을 통하게 되면, 위의 방법으로는 유도되지 않는 스핀양자수를 얻게 되며, 해당 값은 -1/2과 1/2이 됩니다. 물론, Dirac의 방법 말고도 간접적으로 스핀양자수를 얻을 수 있는 방법이 있긴 합니다. Rasing,lowering 연산자, 즉 ladder operator를 사용하는 방법이 있는데, 이것은 거의 수학에 가까운 내용이므로 설명은 생략하도록 하겠습니다.

 

지금까지는 수소원자에 대해서만 알아봤는데, 헬륨으로 넘어가는 순간 우리는 슈뢰딩거방정식을 정확하게 풀 수 없게 됩니다. 따라서 사람들이 상당히 여러 방법으로 파동함수를 예측을 해서 대략적인 값을 구하는 방법을 사용하게 됩니다. 그리고 전자가 많아질수록 파동함수를 모두 적기가 매우 귀찮아지기 때문에, 행렬을 도입해서 파동함수를 나타내기도 합니다. 이렇게 행렬을 통해 도입을 하게 되면, 행렬 계산의 성질 때문에 파울리의 배타 원리가 유도가 됩니다. (정확하게 말씀드리면, 행렬의 판별식을 도입을 하게 됩니다. 이를 Slater determinant라고 부릅니다.)

 

그리고 위에 잠깐 말한 파동함수의 예측을 통해서 유효핵전하라는 개념과, 분자오비탈의 개념, LCAO-MO의 개념, 원자가전자가 결합에 참여한다는 공유결합 이론 등도 모두 설명이 가능하게 됩니다. 해당 내용은 모두 행렬 계산과 미분, 적분이 골고루 섞여 있는 복잡한 수학이므로, 여기에서는 설명하지 않도록 하겠습니다.

 

현대에서는 많은 전자를 가진 원자, 분자에 대한 오비탈을 Hartree-Fock Method 와 같은 예측하는 방식으로 컴퓨터로 계산을 하고 있으며, 현재 상업적으로 여러 프로그램들이 많이 있습니다. 대표적으로 Gaussian 등이 그러한 예가 되겠습니다.

 

혹시 위의 전체적인 내용에 대해 더 자세하게 알고 싶으시면 다음 책을 참고해 보세요.

1. Quantum Chemistry, Ira. N. Levine. 5th edition (현재는 7th edition까지 나왔습니다.)

2. Modern Quantum Chemistry, Attila Szabo.

3. Physical Chemistry - Molecular Approach, Donald A. Mcquarrie

 

적다보니 내용이 참 많이 길어졌습니다.

오히려 머리에 혼란만 가중시킨게 아닐지 모르겠네요~

제 답변이 도움이 되셨으면 좋겠습니다.