고딩 수1 통계에서 두가지 질문좀 받아주세요

지금 고1부터가 미적분을 배우나요? 교과과정이 바뀌었다고 하더니.. 고1에 정규분포를 배우는군요~

전 고등학교 08년 졸업생입니다.

 

아무튼, 질문한 것으로 보건대 '평균, 분산, 표준편차, 확률밀도함수, 표준화, 정규분포곡선 등의 용어'와

'연속확률변수 X가 모든 실수값을 취하고, 그 확률밀도함수 f(x)=루트 어쩌구가 주어질 때, 확률변수X는 정규분포를 따른다고 하며, f(x)의 그래프를 정규분포곡선이라고 한다.' 의 일련의 과정에 대한 이해가 부족한 것 같습니다.

많은 학생들이 통계를 어려워 하지만, 사실 통계는 빨간 밑줄 그은 것을 정확히 알고 있으면 다 해결됩니다.

평균, 분산, 표준편차 등을 안다는 것은 그것을 구하는 공식들도 증명을 통해 이해하고 암기했다는 말입니다.

(혹시 '통계적 추정'도 고1때 배우나요? 그것도 사실은 매우 간단합니다.)

 

질문한 부분에 대한 교과서를 용어에 대한 설명을 주의하여 세 네번정도 읽어보세요.

질문한 것들은 증명을 통한 설명보다는 쉬운 설명을 통해 직관적으로 이해하는 것이 좋겠네요.

 

1.왜 평균 부분만 확률값이 큰 건가요?

-> 확률이라는 것은 (수학적) 가능성입니다.

질문자님 주머니속에 100원짜리가 10개, 500원짜리가 3개, 10원짜리가 2개 있습니다. [*단, 100원, 500원, 10원 짜리동전의 크기는 모두 같다고 가정해봅시다.] 아무 생각없이 주머니에 손을 넣어 동전 하나를 꺼냈을 때 얼마짜리 동전을 꺼낼 가능성(확률)이 높나요?             100원짜리일 가능성이 높다는 것은 그냥 알 것입니다. 

못믿겠으면 똑같은 크기의 종이에 숫자를 적어 섞고 뽑아보세요. 처음 뽑았을 때는 어쩌면 500원이 나올 지도 모릅니다. 그러나 2번, 3번, ~ , 100번을 뽑았을 때 가장 많이 나온 동전은 100원일 것입니다. '평균적으로' 100원이 나올 '확률'이 높다.는 것을 알 수 있습니다. -> 1번, 2번, 3번, ~, 100번 던질때마다 그래프에 점을 찍었습니다. 100번, ~, 200번, ~ 9999999번, ~ (무한대) 던질 수록 그래프 위에 찍은 점은 많아지고 그것이 흡사 선처럼 보여 그래프가 되는 것입니다. <통계적 확률과 수학적확률, 큰수의 법칙 부분 교과서를 꼭 읽어보세요 !>

(점이 모여 선이 되고, 선이 모여 면이 되는 것은 잘 알고 있지요?)

제가 위에서 확률이 (수학적) 가능성이라고 한 이유는 현실적으로는 각 동전이 크기가 달라 마음만 먹으면 500원 짜리 꺼낼 수 있지만 '동전 크기는 모두 같다'라는 가정을 하고 시작했기에 주머니에서 꺼낸 동전에 쓰여있는 숫자를 눈으로 보기 이전에는 그 동전이 얼마짜리인지 알 수 없는 '공평한' 조건 속에서 나온 확률이라는 것을 말하고 싶었던 것입니다.

 

질문한 것에 딱 알맞는 답변을 한 것은 아니지만 제가 쓴 글을 읽고 스스로 이해했으리라 믿습니다.

 

2. 그래프를 볼 때는 x축과 y축이 무엇을 의미하는지 잘 보아야 합니다.

우선, 두 그래프에서의 간격의 다릅니다. 표준화 과정을 거쳤으니.. 뭔가 글로 다 설명하기는 좀 그렇지만..

님의 말대로, 왼쪽의 좌표 간격이 f(x)=루트 어쩌고의 함수를 거쳐 오른쪽의 좌표 간격이 된것입니다.

따라서 오른쪽의 좌표 간격을 f(x)=루트 어쩌고의 '역'함수를 거치면 왼쪽의 좌표 간격이 나옵니다.

왼쪽의 '확률밀도함수'에서의 x축이 의미하는 것은 '연속확률변수X' 이고,

오른쪽의 '표준정규분포'에서의 x축이 의미하는 것은 '표준정규분포 N(0,1)을 따르는 확률변수Z'입니다. 즉, 님이 말한 f(x)= 루트 어쩌고 의 함수를 거쳐 표준화되어 평균이 30에서 0이 된겁니다.

좌표 상에서 그래프를 단지 땡겨서 봉우리가 튀어나온 부분을 30에서 0으로 맞췄다고 생각하면 됩니다.

 

제가 아래에 쓰는 말을 잘 이해해 보세요.

*확률밀도함수의 면적과 정규분포그래프의 면적이 같다 = 확률의 합이 1이다.

*확률 = (어떤 특정 사건이 일어난 경우의 수) / (모든 사건이 일어난 경우의 수)

*확률이 0 = 그 사건이 일어날 가능성이 없다.   0/모든 = 0

*확률이 1 = 그 사건이 반드시 일어난다.    모든/모든 = 1

 

고1이면 접한지 얼마 되지 않았을 텐데 좀 두서없이 설명한 감이 없지 않네요.

그래프를 그려서 직접 설명해주면 금방 명쾌하게 끝날텐데 아쉽네요.

아무튼 해당 부분의 교과서를 용어들이 익숙해질때까지 여러번 반복해서 읽다보면 저절로 이해가 되는 시점이 올 겁니다.