f(x) = x^3 -x^2 -5x +9 =0 의 실근은?
설명) 어떤 3차 4차 방정식도 대수적 해법이 가능하다는 이론이 있으며,
(대학과정카르다노방법) 실제로 어떤 3차 4차 방정식도 풀수가 있으나 이는 고등학교 수준을 넘어서는 내용입니다.
고등학교 1학년 수학 10-가 교육과정에서 3차방정식은 인수정리, 조립제법을 이용하여 인수분해 되는것만 취급합니다.
그리고 수1 교과과정에서는 중간치 정리를 이용하여 주어진 구간에서 실근의 존재성을 알아보는 문제가 있으며, 또 미분을 이용한 방정식의 응용에서는 단지 실근, 허근의 갯수는 몇개인가? 을 조사하는것에 국한되어 있습니다.
f(x) = x^3 -x^2 -5x +9의 상수항의 약수 1 , -1 , 3, -3, 9, -9
f(1), f(-1), f(3), f(-3), f(9), f(-9) 어느 것도 0이 될수없다..
따라서 f(x)는 x +1, x-1, x+3, x-3, x+9, x-9 어는것도 인수가 될수없습니다.
그러므로 수학 10-가 방법으로는 해결이 불가능합니다.
다음 미분을 적용해 보겠습니다.
f '(x) = 3x^2 - 2x - 5 =( 3x - 5) ( x + 1 )=0 그러므로 x= -1, x=5/3
함수의 증감표를 조사하면
x : -1....5/3....
f'(x) + 0 - 0 + 극대값 f(-1)=(-1)^3 -(-1)^2 -5(-1) +9 = -1 -1 +5 +9=12
극소값 f(5/3)= (5/3)^3 -(5/3) ^2 -5(5/3) + 9
=125/27 -25/9 -25/3 +9 = ( 양수 ** )
그리고 y 절편 9 이상 위 표를 참고하여 그래프를 그리면 ( 생략)
x가 -1보다 작은 쪽에서 곡선은 증가하여 점 A ( -1, 12) 지난후 감소 하다가 B( 5/3, **)
계속 증가합니다, 이때 님의 말처럼 주어진 그래프와 x가 -1보다 작은 부분에서
x 축과 교점이 생깁니다.(실근)
실근은 1개 (근은 -1보다 작다) 그리고 허근은 2개이죠.
그러면 근이 중간치정리를 사용하기위하여 근의 존재하는 구간을 알아보겠습니다.
f(-2)=(-2)^3 -(-2)^2 -5(-2) +9 = -8 - 4 +10 + 9 = 7 (양수)
f(-3)=(-3)^3 -(-3)^2 -5(-3) +9 = -27 - 9 + 15 + 9 = -12 (음수)
따라서 f(x)가 [ -3. -2] 에서 연속이고, f(-2) f(-3) 음수이므로 방정식 x^3 -x^2 -5x +9 =0 의
실근은 ( -3 , -2 ) 내에 존재한다.
결론적으로 고등학교 교과과정에서 일반적인 삼차방정식을 해결하기는 어렵다.
다만 어떤 범위에서 근이 존재하는것은 알 수있다.
참고) ( -3 , -2 )구간내에 근이 존재할때 뉴톤 혹은 호너의 방법에의하여
근을 소수 몇자리까지 정확하게 근사식을 얻을 수있습니다.( 대학과정)
참고) 1)삼차방정식의 일반적 풀이 방법(카르다노방법)
2) 근의 근사식을 구하는 방법 ( 뉴톤방법) 은 선생님께 질의를 하시거나,
아니면, 지식검색에 올리면 수학 고수분들이 답변해드릴것입니다.
그럼..도움이 되셨는지요?
