복소수

복소수의 유래

수학자들은 이탈리아의 수학자 카르다노(Cardano, 1501 - 1576)가 삼차방정식의 해법을 발견했을 시기부터 허수에 대하여 많은 관심을 갖게 되었다.
봄벨리는 1572년 삼차방정식을 푸는 과정에서 복소수를 생각했는데, 그는 복소수의 연산을 실제적으로 현대적인 방법으로 형식화하였지만 복소수를 쓸모없고 궤변적인 것으로 보았다.
데카르트(Descartes,R.,1596~1650)는 그의 저서 '기하학'에서 "참인 근이나 거짓인 근 (음수근)이 반드시 실수인 것은 아니다. 때로는 허수일 때도 있다."라고 말함으로써 허수(imaginary number)라는 용어를 처음 사용하긴 하였지만 이들은 수가 아니라고 논하였다.
그 후 1748년 오일러(Euler,L.,1707~1783)는 를 i로 나타내었으며, 복소변수 함수의 이론을 창시한 코시(Cauchy,A,L.,1789~1857)는 a+b과 같은 식을 수로 다루는 것을 거부하였다. 그의 저서 '해석한 강의'에서 "방정식 a+b= c+d은a=c,b=d임을 말해준다. 모든 허수 방정식은 단지 실수인 양들 사이에 성립하는 두 방정식의 기호적 표현에 지나지 않는다."라고 했다.
또, 드 모르간은 상상적인 식과 음수적인 식 -a가 비슷한 점이 있는데, 한문제의 해로써 나타날 때, 그들은 모두 어떤 불합리성과 부적합성을 나타낸다고 했다.
그러나 가우스 (C. F. Gauss, 1777 - 1855)는 대수학의 기본정리를 증명하면서 복소수를 기하학적으로 표현하였다. 당시에는 x+yi를 실제의 점으로 나타내지 않고, 다만 x와 y를 좌표평면 위의 점의 자표로 보았다. 다른 수학자들은 복소수를 받아들이는데 망설였지만, 1831년 그는 논문에서 명백히 a+bi를 복소수 평면에서의 점으로 표현했을 뿐만 아니라 복소수의 기하학적 덧셈과 곱셈을 기술하였다. 또한, 데카르트가 사용한 '허수'라는 용어 대신에 가우스는 복소수(complex number)라는 새로운 용어를 도입하였다.

수학적 이야기

음수의 제곱근은 수학의 모든 분야에서 사용되고 있다.
고대의 수학자가 간단한 산술 문제를 풀 때나 또 20세기에 들어와서는 아인슈타인(A. Einstein, 1879 - 1955)이 상대성 원리를 구성함에 있어서, 공간과 시간의 통일이라는 문제를 생각할 때에도 사용되었던 개념이다.
  겉보기에는 아무런 의미가 없는 듯한 음수의 제곱근을 처음 발표한 사람은 이탈리아의 수학자 카르다노(Cardano, 1501 - 1576)였다. 그는 10을 두 부분으로 나누고 그 두 부분을 곱하여 40이 되도록 나눌 수 있는가 하는 문제 즉, x(10-x)=40을 성립시키는 x를 구하는 문제에 대해 다음과 같이 증명하였다.
  그러나 카르다노는 ‘이런 식은 허의 가상 아래서 풀었다.’고 단서를 붙였다. 「허수」, 「가상의 수」, 「실제로는 존재하지 않는 수」라고 카르다노에 의해 소개된 이 허수는 그 후 많은 수학자들이 여러 가지 각도에서 관찰하기 시작했다. 그러나 이 관찰에는 언제나 조심스러운 단서가 붙어 있었다.
  *대표적인 것으로 근대의 유명한 수학자 오일러가 1770년에 출판한 「대수학」이라는 책에서 표명한 그의 허수에 대한 견해를 살펴보기로 하자.
이나 와 같은 수는 모두 있을 수 없는 수이다. 왜냐하면 이런 수는 음수의 제곱근을 의미하기 때문이다. 또 그것은 0보다 크지도 작지도 않은 수이다. 따라서 필연적으로 이런 수는 실제로 존재하지 않는 수라고 명백하게 단언할 수 있다.
  이 오일러의 말 중 ‘실제로는 존재하지 않는다.’는 말과 ‘의미가 없다.’는 말을 제외하면 모두 지극히 타당한 말이다. 실제로 오일러 자신이 , 라고 쓰고 있으면서도 없다고 하니 이 논리는 지금 우리가 생각해 보아도 좀 우습긴 하다.
  그러나 이와 같은 모든 비난과 논란에도 불구하고 ‘허수’는 분수, 무리수처럼 수의 멤버로서 인정받게 되었다 이제‘허수’ 없이는 수학의 어떤 분야의 연구도 불가능하리 만큼 수학은 고도의 발달을 한 것이다. ‘허수’는 실수를 그대로 거울에 비친 것이나 다름없다. 즉 실수의 그림자로서 ‘실수계’가 1에서 출발하여 만들어진 것처럼 ‘허수계’는 (통상 기호로 i)에서 출발하여 만들어진다.
  방정식 x2 +1=0에는 실수, 즉 유리수나 무리수의 해는 존재하지 않는다. 여기에서도 해가 존재하도록 하기 위해서는 새로운 수를 만들어 내야 한다. 그래서 다음과 같이 ‘약속’한다.
    『 x2 +1=0의 해를 i라고 쓰고, 이것을 수로 간주한다.』
  위의 약속에 의하여 i2 =-1이 성립한다. i가 수이기 때문에 2i, 3+i, 일반적으로 a+bi( a,b는 실수)는 수이어야 한다. 게다가 이것들 사이에 연산 법칙이 성립해야 한다.

(1) 복소수
  허수를 감싸고 있던 신비의 베일을 벗기고 시각적으로 다루는 방법을 제시한 사람은 19세기‘수학의 왕’ 가우스(C. F. Gauss, 1777 - 1855)이다.
먼저 이 새로운 수, 즉 허수와 관련된 명칭부터 알아 두기로 하자. 앞에서 허수의 일반적인 꼴이 a+bi (단, a,b는 실수)라고 하였지만 정확히는 이것을 복소수라고 부른다.
허수는 a=0, b≠0인 복소수를 말하는 것이다. b=0일 때는 물론 단순한 실수이다. 요컨대 복소수란 실수와 허수를 합친 상태를 말한다.
  평면상에 서로 수직으로 만나는 두 직선을 그린다. 이 때 그 교점을 원점이라 부르고 O로 나타낸다. 그리고 가로축( x축)을 실수축, 세로축( y축)을 허수축이라고 이름짓는다.
  이 평면상의 점 (a,b)를 복소수 a+bi로 나타낸다. 단지 이것만으로 복소수를 눈으로 확인할 수 있게 해 준다. (위대한 발상일수록 단순한 법!) 이 평면을 ‘복소수 평면’이라고 말하지만 창안자의 이름을 따서 ‘가우스 평면’이라고 부르는 경우가 많다.
  알고 보면 복소수를 이렇게 시각화하는 방법은 실수를 직선으로 나타냈을 때(수직선)와 같은 발상이다. 음수는 양수로는 나타낼 수 없기 때문에 양수의 반대편에 음수가 있다고 생각해서 직선상에 나타냈던 것처럼 허수는 실수로는 근사적으로 나타낼 수 없기 때문에 수직선 너머의 다른 직선상에 그것을 나타낸 것이다.

(2) 실수와 허수의 연결
  이제는 실제로 i()가 과학적으로 실수와 허수 사이를 어떻게 연결시키는가를 알아보자.
  3이란 x축 위에서 원점으로부터 3의 거리를 나타내지만 이 실수 3에 허수의 단위수 i, 즉 을 곱하면 3i가 되어 순 허수로 변하여 y축 위에서 원점으로부터 거리 3인 점으로 나타난다.
3과 3i의 위치를 생각하면 그것은 「 i를 곱한다는 것은 기하학적으로는 시계 바늘이 움직이는 방향과 반대 방향으로 90°회전하는 것과 같다.」와 같은 사실을 말하는 것이다.
3i에 또 한 번 i를 곱하면 다시 90°회전한다. 그것은 다음의 식 3i × I = 3i2 = -3을 보면 (3i) × i는 -3이 되는데 이것은 3의 점을 원점을 중심으로 180°회전한 것으로 그들의 위치는 원점을 중심으로 대칭 이동한 것임을 알 수 있다.
「 i의 제곱이 -1이 된다( i2 =-1)」는 것이 「시계 바늘의 방향과 90°씩 두 번 방향을 바꾸면 원점을 중심으로 반대의 위치에 있게 된다.」는 말과 같다. 이것은 복소수에 대해서도 성립하는 말이다.
(3+4i)에 i를 곱하면 (3+4i)i=3i+4i2 =3i-4=-4+3i이고, 이것은 (-4+3i)는 (3+4i)를 원점을 중심으로 시계 바늘과 반대 방향으로 90°만큼 회전한 점이라는 것이 분명하다.

(3) 복소수는 수의 끝
  수는 자연수에서 시작하여 정수 -> 유리수 -> 실수 -> 복소수까지 확장된다. 그러면, 복소수 다음에는? 그 답은 '복소수 이상으로의 수의 확장은 없다.'이다. 수의 체계는 복소수에서 완결된다. 그러니까 복소수는 완전한 수 체계를 이룬다는 것이다.
지금까지 방정식의 해를 구하기 위해서 새로운 수를 만들어 냈으나 복소수가 등장한 다음에는 그 범위 안에서 반드시 방정식의 해를 구할 수 있다. 즉 “복소수 범위에서 모든 방정식은 반드시 해를 갖는다.”게다가, 일반적인 n차 방정식 xn +a1 xn-1 + … +an-1 x+an =0 은 계수 a1, a2, a3 , … , an 이 유리수일 때, 복소수 범위에서 반드시 n개의 해를 갖는다. 즉 「유리수 계수의 n차 방정식은 반드시 복소수 범위에서 n개의 해를 갖는다.」라는 정리가 성립한다.
  그렇다면 a1, a2, a3 , … , an등의 계수가 복소수일 때는 어떨까? 이 때도 방정식의 해는 모두 복소수로 나타난다. 즉, 「복소수 계수의 n차 방정식은 복소수 범위에서 반드시 n개의 해를 갖는다.」이것은 다음 두 가지 사실을 보장하고 있다. 하나는 방정식에는 반드시 어떤 해가 있다는 것과 다른 하나는 방정식의 해는 반드시 복소수로 나타낼 수 있다는 것이다. 다시 말하면 어떤 방정식도 반드시 복소수해가 존재한다는 것을 보장하는 것이므로 더 이상 새로운 수를 만들 필요가 없음을 보장해 준 것이다. 그러니까 복소수는 수의 우주의 끝에 우뚝 선 기둥이다. 마치 손오공이 근두운을 타고 아무리 우주를 종횡무진으로 날아가도 부처님의 다섯 개 손가락을 벗어날 수 없었던 것처럼.

 

프렉탈이야기

평면에서 평면으로 변환하는 함수를 복소변수함수라고 하는데요...
프렉탈은 주로 복소변수함수를 이용합니다.
 

(그림 1)* 만델브로트 집합 *
간단한 복소변환(Z <- Z^2 + C, Z = X + i Y ) 의 규칙이 상상할 수 없을 정도의 복잡한 구조를 만들어 냅니다..

그림의 좌측에 있는 만델브로트 집합의 내부를 크릭하여 확대하면 그 안에 작은 만델브로트의 집합(똑같은모양)이 숨어 있습니다..

즉 완전히 같지는 않으나 유사한 구조가 계속 반복된다.

이러한 구조를 프렉탈 구조라 부르는데요.

자연속에서 프렉탈 곡선은 무수히 많습니다..

위와 같은 수많은 프렉탈곡선을 그릴때  복소변수함수를 이용하여 그 그래프를 그립니다.

 

 

아래는 참조 싸이트 입니다.

http://chaos.inje.ac.kr/Lec/fractal/96cnp06.html

http://my.dreamwiz.com/coschao/fractal/fractal.html

복소수를 이용한 프렉탈곡선의 그림(맨 좌측은 예외임...실수만사용...)

 

대소불가능한 이유

어떠한 집합에서 크기비교가 가능하다는 것은, 집합에 대하여 순서를 줄수 있다는 말입니다.
즉, 수직선과 일대일 대응이 되어야 크기비교가 가능합니다.
하지만 복소수는 a+bi <--> (a,b)이므로 평면과 1:1 대응입니다.
따라서 크기비교가 불가능합니다.



http://cyber.chongju.ac.kr/~wjddjwls/aa2.html#mark2