수학 신문
익명 작성일 - 아까 신문을 만들어 달라길래 무시했는데 이번엔 자료좀 달라고 하시니깐 도와드리죠...^^
제가 에서 했던 답변중에 초딩도 이해할수 있는 것만 간추리겠습니다.
수학퀴즈 10문제
1. 두 갈래의 길이 두마을과 연결되어 있습니다. 한마을에는 참말만 하는 사람들이 살고 있고
다른 마을에는 거짓말만 하는 사람들이 살고있습니다.
철수는 참말만 하는 마을을 찾아가다가 중간에 갈림길에서 한사람을 만났는데,
두 마을중 한마을에 사는 것은 확실하나 어디사는지 모릅니다.
이사람에게 한가지만 질문하여 참마을로 가는 방법은?
답 : 당신이 사는 마을의 방향을 둘중에서 가리켜보십시오.
--> 둘다 참마을을 가리키게 됩니다.
2. A,B,C 세사람과 원숭이 한마리가 바나나를 똑같이 나누어 먹기로 하였습니다.
아무도 없을때 A는 원숭이에게 1/4의 바나나를 먼저주었습니다.
나머지는 셋이서 나눠먹으려고 생각했습니다.
A가 가고나서 B가 다시와서 원숭이에게 1/4의 바나나를 주었습니다.
B가 가고나서 C가 원숭이에게 1/4의 바나나를 주었습니다.
원숭이에게 바나나를 줄때 잘라서 주지 않았고(즉 4의배수), 100개보다 적었다면,
원숭이가 먹은 바나나는 몇개인가?
답 : 37개
--> 처음 바나나의 갯수는 4로 세번 나누어 떨어지므로 4*4*4=64의 배수
하지만 100보다 적으므로 64
A가 준 바나나 64/4=16
B가 준 바나나(64-16)/4=12
C가 준 바나나(64-16-12)/4=9
총 개수는 37
3. 건너가는데 6일이 걸리는 사막이 있다. 한사람은 4일분의 식량만 짊어질수 있다면
아무도 죽지않고 한사람이라도 사막을 건너는데 최소한 몇명 필요할까?(돌아오는 사람이 생겨도 상관없다)
답 : 3명
--> 첫날 3명이 12일분의 짊어지고 가서 3일분을 먹었으므로 9일분이 남는다.
둘째날 1명이 1인분만 가지고 왔던길로 돌아간다.(1일걸림)
2명은 8일분을 짊어지고 가서 2일분을 먹었으므로 6일분이 남는다.
셋째날 1명이 2일분을 짊어지고 왔던길로 돌아간다.(2일걸림)
1명은 4일분을 짊어지고 나머지 4일간을 먹으면서 사막을 건너간다.
4. A,T,W,E,Y,I,L,K,H,F,X,Z,V,N,M,ㄱ,ㄴ,ㄷ,ㄹ,ㅁ,ㅂ,ㅋ,ㅌ,ㅍ에는 없고
B,C,D,G,J,O,P,Q,R,S,U,ㅇ,ㅎ 에는 있는 것은?
답 : 곡선
5. 나무에는 없고, 다리에도 없다, 오리는 없는데, 엄마오리는 있다,개는 없는데, 강아지는 있다, 병아리도 있고, 닭도 있다. 상에는 하나인데, 책상에는 두개이고 탁자에는 한개이며 밥상에도 두개이다. 무엇일까?
답 : 받침
6. 가로 5,세로 5개씩 총 25개의 책상에 학생들이 앉아 있습니다. 앉아있던 사람들이 모두들 일어나서 붙어있는자리(앞,뒤,옆)자리로 이동할수 있을까요? 있다면 방법을, 없다면 이유를 설명하시오.
답 : 없다
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0표한 자리의 학생들은 0표 안한 자리로 가야하지만 0표한 자리는 13개
0표가 없는 자리는 12개이므로 자리가 부족하게 된다.
7. 괘종시계가 6시에 종을 치는데 5초 걸렸습니다. 12시를 알리는데는 몇초가 걸릴까요?
답 : 11초
-->10초나 12/5라고 생각하는 사람 있을지 모르지만 6시에 종을 치는 간격은 5번
즉 한번치고 다음 종치는 시간까지 1초이구요.
12시면 11개의 간격이 있으므로 11초입니다.
8. A마을세명,B마을 세명이 강을 건너려고 하는데 2인용보트 한대밖에 없다.
A마을 사람들은 B마을사람보다 많아지면 B마을 사람들을 죽이려고 한다.(B는 그렇지 않다.)
모두 강을 건너는 방법은?
답 : A1,A2가 강을 건너서 A1만 돌아온다.
A1과 A3이 건너서 A1만 돌아온다.
B2와 B3이 건너서 A2와 B2가 돌아온다.
B1과 B3이 건너서 A3이 돌아온다.
A3이 나머지를 태워다 주면 끝난다.
9. 2를 다섯 개 써서 더하기 만으로 28이 돠도록 하시오.
답 : 22+2+2+2 =28
10. 8을 여덟 개 써서 더하기 만으로 1000이 되도록 만드시오.
답 : 888+88+8+8+8=1000..
완전수 이야기
첫번째, 동양 철학의 완전수는 3입니다.
1은 홀수, 남자를 상징하는 수, 즉 양의 수이고
2는 짝수, 여자를 상징하는 수, 즉 음의 수입니다
1과2가 합쳐진 3은 음과 양이 조화를 이룬 완전수입니다.
두번째, 수학에서의 완전수는 자기자신을 뺀 약수의 합이 자기자신이 나오는것입니다.
6의 약수는 1,2,3,6인데요 이중에서 6을 뺀 나머지 1+2+3=6이므로 완전수입니다.
수학적인 완전수는 6, 28, 등등이 있습니다. 무한히 많다고 하더군요.
그런데 찾는 규칙은 소수찾는 방법처럼 알려져 있지 않습니다.
세번째, 종교적인 완전수인데요
기독교에서는 1은 모든수의 기본이므로 빼고
홀수의 처음인 3과 짝수의 처음인 2를 곱해서 나오는 6이 인간의 완전수라고 하더군요.
이것은 하나님이 세상을 6일만에 창조했다는 말입니다.
그래서 악마의 숫자가 666입니다.
그리고 7은 그 다음에 나오는 수로 신의 완전수입니다.
하나님이 7일째에 쉬었다고 되어있기 때문입니다.
그래서 7은 신의수로 알려져있고 그래서 완전수입니다.
마방진 이야기
http://user.chollian.net/~brainstm/mbj/mbj_world.htm
공식도 거기 있을거에요...
마방진의 풀이
우선 마방진은 홀수차 마방진과 짝수차 마방진의 두개가 있습니다.
홀수차란 가로,세로가 홀수개인 것이고 짝수차란 가로세로가 짝수개인 것을 말합니다.
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홀수차의 형태를 집어 넣을때는요.
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이렇게 바깥쪽에 사각형을 하나씩 더그립니다.(위에 동그라미 친곳만 그리는 것입니다.)
다음으로 아무 귀퉁이에서든지 숫자를 시작하여 대각선 차례로 집어넣습니다.
| 3 | ||||
| 2 | 0 | 6 | ||
| 1 | 0 | 5 | 0 | 9 |
| 4 | 0 | 8 | ||
| 7 |
밖으로 삐져나온 숫자를 같은색으로 보내세요...다시말하면 모양 그대로 반대로 보냅니다.
그러면
| 2 | 7 | 6 |
| 9 | 5 | 1 |
| 4 | 3 | 8 |
짝수차 마방진(이것은 4의배수 형태만 됩니다.)
대각선을 색칠합니다.(엄밀하게는 1:2;1로 나누어서 전부다 색칠합니다.)
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| 0 | 0 | 0 | 0 |
오른쪽 아래부터 거꾸로 까만색에만 해당되는 숫자를 차례로 집어 넣습니다.
| 0 | 15 | 14 | 00 |
| 12 | 0 | 0 | 9 |
| 8 | 0 | 0 | 5 |
| 0 | 3 | 2 | 0 |
이제는 위에서 부터 남은칸에만 해당되는 숫자를 차례로 집어 넣습니다.
| 1 | 15 | 14 | 4 |
| 12 | 6 | 7 | 9 |
| 8 | 10 | 11 | 5 |
| 13 | 3 | 2 | 16 |
6차마방진은 위 싸이트를 참조하세요.
수학적인 미해결 문제들
수학에서 아직 미해결인 문제 가운데, 이해하기 쉬운 몇 개를 듭니다.
물론, "이해하기 쉽다"고 해서, 증명도 쉬울 것이라고 생각하다간 큰 코 다칠 문제들입니다만... ^^;
3n+1 문제
임의의 자연수 n에 대해 다음과 같은 조작을 반복합니다.
n이 짝수면 2로 나누고, n이 홀수면 3n+1을 구한다.
예를 들어, n=5로 시작하면, 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 이 됩니다.
어떤 자연수 n에 대해서도, 이 조작을 유한 번 시행하면 1이 될 것이라고 예상하는데, 7000 0000 0000보다 작은 모든 짝수에 대해 성립한다는 것이 밝혀져 있긴 하지만, 아직 아무도 증명하지 못했습니다.
유명한 헝가리 수학자 폴 에르되시(Paul Erd\"os)는, "우리의 수학은 아직 이 문제를 풀 준비가 되어 있지 않다."라고 했습니다.
쌍둥이 솟수
p와 p+2가 모두 솟수일 때, 이 둘을 쌍둥이 솟수라고 합니다.
예를 들어, 3,5; 11,13; 17,19; 29,31 따윕니다.
쌍둥이 솟수가 무한히 많을 것이라고 예상하지만, 역시 아무도 증명하지 못했습니다.
골드바흐의 예상
"2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 솟수의 합으로 나타낼 수 있다"라고 골드바흐가 주장했습니다.
200 0000 0000까지의 모든 짝수에 대해서는 옳다는 것이 컴퓨터로 조사되었습니다만, 역시 아무도 증명이나 반증을 못했습니다.
Goldbach 예상의 bound 가 4×1014로 올라갔음.
7 이상의 모든 홀수가 세 소수의 합이라는 Odd Goldbach 예상이 거의(?) 풀렸음.
(10^43000 이상의 홀수는 세 소수의 합임이 증명되었음. Riemann 가정을 이용하면 훨씬 줄일 수 있음이 알려졌음)
메르센 수
p가 솟수일 때, Mp = 2p - 1 을 메르센 수라고 합니다.
메르센 수가 솟수일 때, 특히 메르센느 솟수라고 하는데, 메르센 솟수가 무한히 많이 존재할까요?
또 하나, 메르센 수는 제곱수로는 나누어 떨어지지 않을 걸로 예상하는데 이것 역시 아직 아무도 증명이나 반증을 하지 못했습니다.
페르마 수
페르마는 Fn = 22^n + 1이 언제나 솟수일 걸로 예상했지만, F5가 합성수임이 밝혀져 예상이 틀렸습니다.
그 이후, 많은 페르마 수가 합성수임이 밝혀졌지만, 아직까지 솟수인지 합성수인지를 모르는 최소의 페르마 수는 F22 입니다.
한편, 페르마 수가 솟수일 때, 그 솟수를 페르마 솟수라고 하는데, 이런 솟수가 무한히 많은지 그렇지 않은지도 아직 모릅니다.
지금은 거꾸로, n이 5보다 크거나 같은 경우, Fn은 언제나 합성수가 아닐까 예상하고 있습니다.
Fermat 소수는 F11 = 22^11 + 1 까지 인수분해가 완료되었음.
F22는 합성수로 판정이 났음.
피보나치 솟수
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...를 피보나치 수열이라고 합니다. (각 항은 앞 두 항을 더해서 구합니다.)
이 수열은 솟수를 무한히 많이 포함하고 있을까요?
n2 + 1 꼴의 솟수
n2 + 1 꼴의 솟수가 무한히 많이 존재할까요?
k 2n + 1 꼴의 합성수
모든 자연수 n에 대해 k 2n + 1 이 합성수가 되는 k가 존재하는 것은 알려져 있는데, 이런 k의 최소값은 무엇일까요?
제곱 수 사이의 솟수
연속된 두 수의 제곱 사이에는 언제나 솟수가 존재할까요?
2 이상의 자연수 n에 대해, n과 2n 사이에 솟수가 존재한다는 것은 Bertrand Postulate로 알려진 유명한 문제로 이미 오래 전에 참으로 밝혀졌습니다. 그러나 이 문제처럼 제곱인 경우는 아무도 모릅니다.
큰 수의 인수분해
솟수가 아닌 것만 알 뿐, 그 소인수 분해를 모르는 수가 많습니다.
페르마 수 Fn = 22^n + 1 의 경우, 그 인수분해가 알려져 있는 것은, n이 8까지인 경우뿐입니다.
n이 9보다 크거나 같은 경우, 겨우 몇 개의 인수만 알려져 있습니다.
홀수 완전수
6의 약수 가운데 자기 자신을 제외한 나머지 1, 2, 3을 모두 더하면, 다시 6이 됩니다.
이처럼 자신을 제외한 약수를 모두 더한 값이 다시 자기 자신일 때, 그 수를 "완전수"라고 합니다.
짝수인 완전수의 일반적인 꼴은 이미 알고 있지만, 홀수인 완전수는 아직 단 하나도 발견되지 않았습니다.
여러 연구 결과, 아마도 그런 수가 존재하지 않거나, 존재한다면 어마어마하게 큰 수 --- 10300보다 커야 합니다 --- 란 것까지는 알려져 있습니다.
π + e
π와 e는 무리수일 뿐 아니라, 심지어 초월수라는 것도 밝혀져 있습니다. ("초월수"란 정수 계수 다항 방정식의 근이 될 수 없는 수를 말합니다.)
그런데 π + e 는 초월수는 커녕, 유리수인지 무리수인지도 모릅니다.
오일러 수
"오일러 수"로 불리는 것들이 여럿 있는데, 여기서 말하는 것은, 다음과 같이 정의합니다.
γ = limn→∞ ( 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - log n )
이 γ가 수렴한다는 것은 쉽게 보일 수 있지만, 이 수가 유리수인지 무리수인지도 아직 모릅니다.
아마도 무리수일 뿐 아니라, 초월수까지 되지 않을까 생각하고 있습니다.
아페리의 수
ζ(3) = 1/13 + 1/23 + 1/33 + 1/43 + ... 으로 정의합니다.
아페리(Apery)가 이 수가 무리수임을 보였지만, 아직 초월수인지 아닌지는 알지 못합니다.
아페리의 증명이 발표되었을 때, 그 방법이 뜻밖에 간단해서, 많은 수학자들이 "나도 한번 해 볼걸"하고 땅을 치고 통곡했다는 전설(?)이 있죠. ^^;
카탈랑의 예상
연속된 두 정수가 거듭제곱 수인 경우는 언제일까요?
2의 세제곱인 8과 3의 제곱인 9만이 유일하다고 예상하고 있습니다.
물론 거듭제곱 지수는 1보다 큰 경우만 생각합니다.
이집트 분수
분자는 1, 분모는 자연수인 분수를 이집트 분수라고 합니다.
1보다 큰 임의의 자연수 n에 대해, 4/n 을 세 개의 이집트 분수로 나타낼 수 있을까요?
바꿔 말하면, n이 어떤 값이라도, 4/n = 1/x + 1/y + 1/z 를 만족하는 양의 정수해 x, y, z가 존재하겠느냐는 겁니다.
※ 혼동의 여지가 있어서 조금 고쳤습니다.
5차 부정 방정식
다음 방정식을 만족하는 서로 다른 자연수 a,b,c,d가 존재할까요?
일곱 개의 세제곱들의 합
454보다 큰 모든 정수는 일곱 개 이하의 양의 정수를 세제곱한 것들의 합으로 나타낼 수 있을까요?
유리수 거리
평면 위에 한 변의 길이가 1인 정사각형이 놓여 있습니다.
이 정사각형의 네 꼭지점에 이르는 거리가 모두 유리수인 점이 이 평면에 존재할까요?
유리수 상자
임의의 두 점 사이의 거리가 모두 정수인 직육면체가 존재할까요?
내접 정사각형
평면 위에 단순 폐곡선이 주어졌을 때, 정사각형의 네 꼭지점이 되는 점들이 이 곡선 위에 존재할까요?
단순 폐곡선이란 자기 자신과 만나지 않는 폐곡선을 말합니다.
우아한 트리
유한 개의 점과, 그 점들을 잇는 선들로 이루어진 도형을 "그래프(graph)"라고 합니다.
이 때, 이 그래프의 점을 "버텍스(vertex)"라고 하고, 버텍스들을 잇는 선을 "에지(edge)"라고 합니다.
그래프 가운데, 한 버텍스에서 다른 버텍스로 에지를 따라 가는 방법이 유일할 때, 이런 그래프를 특별히 "트리(tree)"라고 합니다.
전산이나 컴퓨터 프로그래밍을 공부한 분이라면 "트리 구조"라는 걸 아실 겁니다.
n 개의 버텍스를 갖는 트리에, 1부터 n까지 숫자를 준 다음, 각 에지에는 양 끝의 두 버텍스에 주어진 숫자들의 차를 줍니다.
이렇게 했을 때, 만약 에지의 숫자들이 모두 다르다면, 이 트리는 "우아하다(graceful)"고 정의합니다.
예를 들어, 9 개의 버텍스를 가진 트리에 다음 그림처럼 숫자를 줍니다.
5 1----4 / / 7----3----9----2 \ \ 6 8
이 트리의 에지는 1부터 8까지의 서로 다른 숫자를 갖습니다.
따라서, 이 트리는 우아한 트리(graceful tree)입니다.
그런데, 혹시 모든 트리는 다 우아하지 않을까요?
아직 아무도 증명이나 반증을 하지 못했습니다.
마법의 나이트 경로
8x8 체스판 위에서 나이트(knight)가 어떤 칸도 꼭 한 번만 방문하도록 움직이면서, 방문하는 칸마다 1부터 64까지 차례대로 번호를 붙입니다.
이 때, 그 결과가 마방진이 되게 할 수 있을까요?
semi-magic knight tour라고 해서, 가로 세로의 합이 모두 같게 되는 경로는 발견되었지만, 대각선의 합까지 모두 같은 것은 아직 발견되지 않았습니다
미해결 문제 출처 : http://puzzle.jmath.net/math/essay/unsolved.html
수학소식
| [해외토픽] '펭귄은 응용수학의 대가' |
남인도양에서 펭귄 30쌍을 관찰해온 파리-쉬드대학 생물학자들은 펭귄이 강풍이 부는 서식지에서 접촉을 유지하기 위해 본능적으로 수학적 통신 이론을 이용하고 있다면서 풍속에 따라 음절과 울음의 수를 늘린다고 주장.
펭귄 한쌍은 교대로 알을 품고 새끼를 기르는데 한 마리가 사냥을 나갔다 돌아돌때 약 4만마리나 되는 무리 속에서 울음소리를 듣고 새끼를 돌보고 있는 상대방을 알아차린다는 것.
생물학자들은 펭귄이 약한 바람에도 목청껏 우나 강풍에서 더 이상 목소리를 높일 수 없을 때는 울음과 음절의 수를 늘려 자기 짝을 찾는다고 설명했다
| [프랑스] 한국학생 수학. 과학 성적 세계 2위 |
프랑스 국립 경제학 및 통계학연구소는 17일 보고서를 통해 수학 과목 성적에서는 싱가포르 학생들이 1위, 한국 2위, 일본 3위, 홍콩 4위 등의 순서였다고 밝혔다.
또 과학 과목에서는 싱가포르 학생들이 역시 1위를 달렸으나 2위는 체코공화국출신 학생들이 차지했으며 일본 3위, 한국이 4위를 기록했다.
| [OECD] 한국 초4-중2 수학 학습성취도 1위 |
15일 교육부가 UNESCO, OECD 등 국제기구 자료를 토대로 펴낸 [통계로 본 세계속의 한국 교육]에 따르면 초등학교 4년생을 기준(95년)으로 수학 학습 성취도면에서 평균 471점을얻어 일본(457점), 미국(407점)을 제치고 OECD 16개국 가운데 1위를 차지했다.
중학 2년생(607점)도 일본(605점)을 근소한 차로 따돌리고 수위에 올랐다.
또 성인 문맹률은 우리 나라가 2%에 불과, 멕시코나 중국, 홍콩, 필리핀 등 경제규모가 비슷한 29개국 중 제일 낮았다.
그러나 우리 나라의 취학전 교육(유치원)에 대한 공교육비의 비율(94년 기준)은 1%에 그쳐 중국(1.4%), 태국(1.8%)보다 낮았으며, 초등교육의 경우도 44.5%로 아르헨티나(72.3%), 태국(51%) 등 보다 뒤처졌다.
중등교육(한국 34.4%, 프랑스50%, 말레이시아 41.2%, 뉴질랜드40.7%)도 마찬가지였다.
특히 고등교육에 대한 공교육비 투자비율은 한국이 7.9%로 네덜란드(39%), 미국(93년 23.3%), 일본(92년13.5%) 등 다른 나라보다 월등히 낮았다. 또 연구개발비 가운데 정부투자 비율은 한국이 15.9%로 홍콩(91%), 태국(79.7%), 미국(35.5%) 등에 비해 극히 낮은 수준이었다.
| [유머] 수학괴담 |
① 공식을 외워도 어디다 써먹을지 모를 때
② 예전에맞췄던 문제 다시 풀었는데 틀렸을 때
③ 날짜가 25일이고 내가 25번일 때(지적 대상 1순위, 하루 종일 긴장…)
④ 수학 시험 시간에 시간이 남아돌 때
⑤ 시험지에 계산하라고 있는 여백에 그림 그리고 있을 때
⑥ 틀린 개수만큼 맞을 때(도대체 몇대를 맞아야 하는지…)
⑦ 시험지에 각자 자기 틀린 것만 다시 풀어오라고 숙제 내줄 때(틀린 게 한두개여야지.)
⑧ 딴 애들은 칠판에 나가 조금이라도 끄적이다 복도로 나가는데 나는 바로 복도로 직행할 때
⑨ 시험중 도형의 길이를 구하라는 문제에서 직접 자 대고 길이 잴 때
⑩ 주관식 답은 무조건 ‘1’이라고 쓸 때(만만한 게 ‘0’ 아니면 ‘1’)
⑪ 미지수를 푸는 문제에서 보기에 있는 숫자를 일일이 다 대입해볼 때
⑫ 참고서에 있는 답 모조리 외워갔는데 막상 머리속이 텅텅 빌 때
⑬ 색연필로 점수매기는데 온통 빨간 소나기가 내릴 때
⑭ 모두 객관식이었는데 빵점 받았을 때
⑮ 확률문제…. 공식 안쓰고 일일이 하나하나 적어서 풀 때(무식하면 손발이 고생이다
익명 작성일 - 수학퀴즈 10문제 ㅅ ㅅ
1. 두 갈래의 길이 두마을과 연결되어 있습니다. 한마을에는 참말만 하는 사람들이 살고 있고
다른 마을에는 거짓말만 하는 사람들이 살고있습니다.
철수는 참말만 하는 마을을 찾아가다가 중간에 갈림길에서 한사람을 만났는데,
두 마을중 한마을에 사는 것은 확실하나 어디사는지 모릅니다.
이사람에게 한가지만 질문하여 참마을로 가는 방법은?
답 : 당신이 사는 마을의 방향을 둘중에서 가리켜보십시오.
--> 둘다 참마을을 가리키게 됩니다.
2. A,B,C 세사람과 원숭이 한마리가 바나나를 똑같이 나누어 먹기로 하였습니다.
아무도 없을때 A는 원숭이에게 1/4의 바나나를 먼저주었습니다.
나머지는 셋이서 나눠먹으려고 생각했습니다.
A가 가고나서 B가 다시와서 원숭이에게 1/4의 바나나를 주었습니다.
B가 가고나서 C가 원숭이에게 1/4의 바나나를 주었습니다.
원숭이에게 바나나를 줄때 잘라서 주지 않았고(즉 4의배수), 100개보다 적었다면,
원숭이가 먹은 바나나는 몇개인가?
답 : 37개
--> 처음 바나나의 갯수는 4로 세번 나누어 떨어지므로 4*4*4=64의 배수
하지만 100보다 적으므로 64
A가 준 바나나 64/4=16
B가 준 바나나(64-16)/4=12
C가 준 바나나(64-16-12)/4=9
총 개수는 37
3. 건너가는데 6일이 걸리는 사막이 있다. 한사람은 4일분의 식량만 짊어질수 있다면
아무도 죽지않고 한사람이라도 사막을 건너는데 최소한 몇명 필요할까?(돌아오는 사람이 생겨도 상관없다)
답 : 3명
--> 첫날 3명이 12일분의 짊어지고 가서 3일분을 먹었으므로 9일분이 남는다.
둘째날 1명이 1인분만 가지고 왔던길로 돌아간다.(1일걸림)
2명은 8일분을 짊어지고 가서 2일분을 먹었으므로 6일분이 남는다.
셋째날 1명이 2일분을 짊어지고 왔던길로 돌아간다.(2일걸림)
1명은 4일분을 짊어지고 나머지 4일간을 먹으면서 사막을 건너간다.
4. A,T,W,E,Y,I,L,K,H,F,X,Z,V,N,M,ㄱ,ㄴ,ㄷ,ㄹ,ㅁ,ㅂ,ㅋ,ㅌ,ㅍ에는 없고
B,C,D,G,J,O,P,Q,R,S,U,ㅇ,ㅎ 에는 있는 것은?
답 : 곡선
5. 나무에는 없고, 다리에도 없다, 오리는 없는데, 엄마오리는 있다,개는 없는데, 강아지는 있다, 병아리도 있고, 닭도 있다. 상에는 하나인데, 책상에는 두개이고 탁자에는 한개이며 밥상에도 두개이다. 무엇일까?
답 : 받침
6. 가로 5,세로 5개씩 총 25개의 책상에 학생들이 앉아 있습니다. 앉아있던 사람들이 모두들 일어나서 붙어있는자리(앞,뒤,옆)자리로 이동할수 있을까요? 있다면 방법을, 없다면 이유를 설명하시오.
답 : 없다
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0표한 자리의 학생들은 0표 안한 자리로 가야하지만 0표한 자리는 13개
0표가 없는 자리는 12개이므로 자리가 부족하게 된다.
7. 괘종시계가 6시에 종을 치는데 5초 걸렸습니다. 12시를 알리는데는 몇초가 걸릴까요?
답 : 11초
-->10초나 12/5라고 생각하는 사람 있을지 모르지만 6시에 종을 치는 간격은 5번
즉 한번치고 다음 종치는 시간까지 1초이구요.
12시면 11개의 간격이 있으므로 11초입니다.
8. A마을세명,B마을 세명이 강을 건너려고 하는데 2인용보트 한대밖에 없다.
A마을 사람들은 B마을사람보다 많아지면 B마을 사람들을 죽이려고 한다.(B는 그렇지 않다.)
모두 강을 건너는 방법은?
답 : A1,A2가 강을 건너서 A1만 돌아온다.
A1과 A3이 건너서 A1만 돌아온다.
B2와 B3이 건너서 A2와 B2가 돌아온다.
B1과 B3이 건너서 A3이 돌아온다.
A3이 나머지를 태워다 주면 끝난다.
9. 2를 다섯 개 써서 더하기 만으로 28이 돠도록 하시오.
답 : 22+2+2+2 =28
10. 8을 여덟 개 써서 더하기 만으로 1000이 되도록 만드시오.
답 : 888+88+8+8+8=1000..
완전수 이야기
첫번째, 동양 철학의 완전수는 3입니다.
1은 홀수, 남자를 상징하는 수, 즉 양의 수이고
2는 짝수, 여자를 상징하는 수, 즉 음의 수입니다
1과2가 합쳐진 3은 음과 양이 조화를 이룬 완전수입니다.
두번째, 수학에서의 완전수는 자기자신을 뺀 약수의 합이 자기자신이 나오는것입니다.
6의 약수는 1,2,3,6인데요 이중에서 6을 뺀 나머지 1+2+3=6이므로 완전수입니다.
수학적인 완전수는 6, 28, 등등이 있습니다. 무한히 많다고 하더군요.
그런데 찾는 규칙은 소수찾는 방법처럼 알려져 있지 않습니다.
세번째, 종교적인 완전수인데요
기독교에서는 1은 모든수의 기본이므로 빼고
홀수의 처음인 3과 짝수의 처음인 2를 곱해서 나오는 6이 인간의 완전수라고 하더군요.
이것은 하나님이 세상을 6일만에 창조했다는 말입니다.
그래서 악마의 숫자가 666입니다.
그리고 7은 그 다음에 나오는 수로 신의 완전수입니다.
하나님이 7일째에 쉬었다고 되어있기 때문입니다.
그래서 7은 신의수로 알려져있고 그래서 완전수입니다.
마방진 이야기
http://user.chollian.net/~brainstm/mbj/mbj_world.htm
공식도 거기 있을거에요...
마방진의 풀이
우선 마방진은 홀수차 마방진과 짝수차 마방진의 두개가 있습니다.
홀수차란 가로,세로가 홀수개인 것이고 짝수차란 가로세로가 짝수개인 것을 말합니다.
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홀수차의 형태를 집어 넣을때는요.
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이렇게 바깥쪽에 사각형을 하나씩 더그립니다.(위에 동그라미 친곳만 그리는 것입니다.)
다음으로 아무 귀퉁이에서든지 숫자를 시작하여 대각선 차례로 집어넣습니다.
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밖으로 삐져나온 숫자를 같은색으로 보내세요...다시말하면 모양 그대로 반대로 보냅니다.
그러면
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1 |
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3 |
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짝수차 마방진(이것은 4의배수 형태만 됩니다.)
대각선을 색칠합니다.(엄밀하게는 1:2;1로 나누어서 전부다 색칠합니다.)
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오른쪽 아래부터 거꾸로 까만색에만 해당되는 숫자를 차례로 집어 넣습니다.
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이제는 위에서 부터 남은칸에만 해당되는 숫자를 차례로 집어 넣습니다.
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6차마방진은 위 싸이트를 참조하세요.
수학적인 미해결 문제들
수학에서 아직 미해결인 문제 가운데, 이해하기 쉬운 몇 개를 듭니다.
물론, "이해하기 쉽다"고 해서, 증명도 쉬울 것이라고 생각하다간 큰 코 다칠 문제들입니다만... ^^;
3n+1 문제
임의의 자연수 n에 대해 다음과 같은 조작을 반복합니다.
n이 짝수면 2로 나누고, n이 홀수면 3n+1을 구한다.
예를 들어, n=5로 시작하면, 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 이 됩니다.
어떤 자연수 n에 대해서도, 이 조작을 유한 번 시행하면 1이 될 것이라고 예상하는데, 7000 0000 0000보다 작은 모든 짝수에 대해 성립한다는 것이 밝혀져 있긴 하지만, 아직 아무도 증명하지 못했습니다.
유명한 헝가리 수학자 폴 에르되시(Paul Erd\"os)는, "우리의 수학은 아직 이 문제를 풀 준비가 되어 있지 않다."라고 했습니다.
쌍둥이 솟수
p와 p+2가 모두 솟수일 때, 이 둘을 쌍둥이 솟수라고 합니다.
예를 들어, 3,5; 11,13; 17,19; 29,31 따윕니다.
쌍둥이 솟수가 무한히 많을 것이라고 예상하지만, 역시 아무도 증명하지 못했습니다.
골드바흐의 예상
"2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 솟수의 합으로 나타낼 수 있다"라고 골드바흐가 주장했습니다.
200 0000 0000까지의 모든 짝수에 대해서는 옳다는 것이 컴퓨터로 조사되었습니다만, 역시 아무도 증명이나 반증을 못했습니다.
Goldbach 예상의 bound 가 4×1014로 올라갔음.
7 이상의 모든 홀수가 세 소수의 합이라는 Odd Goldbach 예상이 거의(?) 풀렸음.
(10^43000 이상의 홀수는 세 소수의 합임이 증명되었음. Riemann 가정을 이용하면 훨씬 줄일 수 있음이 알려졌음)
메르센 수
p가 솟수일 때, Mp = 2p - 1 을 메르센 수라고 합니다.
메르센 수가 솟수일 때, 특히 메르센느 솟수라고 하는데, 메르센 솟수가 무한히 많이 존재할까요?
또 하나, 메르센 수는 제곱수로는 나누어 떨어지지 않을 걸로 예상하는데 이것 역시 아직 아무도 증명이나 반증을 하지 못했습니다.
페르마 수
페르마는 Fn = 22^n + 1이 언제나 솟수일 걸로 예상했지만, F5가 합성수임이 밝혀져 예상이 틀렸습니다.
그 이후, 많은 페르마 수가 합성수임이 밝혀졌지만, 아직까지 솟수인지 합성수인지를 모르는 최소의 페르마 수는 F22 입니다.
한편, 페르마 수가 솟수일 때, 그 솟수를 페르마 솟수라고 하는데, 이런 솟수가 무한히 많은지 그렇지 않은지도 아직 모릅니다.
지금은 거꾸로, n이 5보다 크거나 같은 경우, Fn은 언제나 합성수가 아닐까 예상하고 있습니다.
Fermat 소수는 F11 = 22^11 + 1 까지 인수분해가 완료되었음.
F22는 합성수로 판정이 났음.
피보나치 솟수
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...를 피보나치 수열이라고 합니다. (각 항은 앞 두 항을 더해서 구합니다.)
이 수열은 솟수를 무한히 많이 포함하고 있을까요?
n2 + 1 꼴의 솟수
n2 + 1 꼴의 솟수가 무한히 많이 존재할까요?
k 2n + 1 꼴의 합성수
모든 자연수 n에 대해 k 2n + 1 이 합성수가 되는 k가 존재하는 것은 알려져 있는데, 이런 k의 최소값은 무엇일까요?
제곱 수 사이의 솟수
연속된 두 수의 제곱 사이에는 언제나 솟수가 존재할까요?
2 이상의 자연수 n에 대해, n과 2n 사이에 솟수가 존재한다는 것은 Bertrand Postulate로 알려진 유명한 문제로 이미 오래 전에 참으로 밝혀졌습니다. 그러나 이 문제처럼 제곱인 경우는 아무도 모릅니다.
큰 수의 인수분해
솟수가 아닌 것만 알 뿐, 그 소인수 분해를 모르는 수가 많습니다.
페르마 수 Fn = 22^n + 1 의 경우, 그 인수분해가 알려져 있는 것은, n이 8까지인 경우뿐입니다.
n이 9보다 크거나 같은 경우, 겨우 몇 개의 인수만 알려져 있습니다.
홀수 완전수
6의 약수 가운데 자기 자신을 제외한 나머지 1, 2, 3을 모두 더하면, 다시 6이 됩니다.
이처럼 자신을 제외한 약수를 모두 더한 값이 다시 자기 자신일 때, 그 수를 "완전수"라고 합니다.
짝수인 완전수의 일반적인 꼴은 이미 알고 있지만, 홀수인 완전수는 아직 단 하나도 발견되지 않았습니다.
여러 연구 결과, 아마도 그런 수가 존재하지 않거나, 존재한다면 어마어마하게 큰 수 --- 10300보다 커야 합니다 --- 란 것까지는 알려져 있습니다.
π + e
π와 e는 무리수일 뿐 아니라, 심지어 초월수라는 것도 밝혀져 있습니다. ("초월수"란 정수 계수 다항 방정식의 근이 될 수 없는 수를 말합니다.)
그런데 π + e 는 초월수는 커녕, 유리수인지 무리수인지도 모릅니다.
오일러 수
"오일러 수"로 불리는 것들이 여럿 있는데, 여기서 말하는 것은, 다음과 같이 정의합니다.
γ = limn→∞ ( 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - log n )
이 γ가 수렴한다는 것은 쉽게 보일 수 있지만, 이 수가 유리수인지 무리수인지도 아직 모릅니다.
아마도 무리수일 뿐 아니라, 초월수까지 되지 않을까 생각하고 있습니다.
아페리의 수
ζ(3) = 1/13 + 1/23 + 1/33 + 1/43 + ... 으로 정의합니다.
아페리(Apery)가 이 수가 무리수임을 보였지만, 아직 초월수인지 아닌지는 알지 못합니다.
아페리의 증명이 발표되었을 때, 그 방법이 뜻밖에 간단해서, 많은 수학자들이 "나도 한번 해 볼걸"하고 땅을 치고 통곡했다는 전설(?)이 있죠. ^^;
카탈랑의 예상
연속된 두 정수가 거듭제곱 수인 경우는 언제일까요?
2의 세제곱인 8과 3의 제곱인 9만이 유일하다고 예상하고 있습니다.
물론 거듭제곱 지수는 1보다 큰 경우만 생각합니다.
이집트 분수
분자는 1, 분모는 자연수인 분수를 이집트 분수라고 합니다.
1보다 큰 임의의 자연수 n에 대해, 4/n 을 세 개의 이집트 분수로 나타낼 수 있을까요?
바꿔 말하면, n이 어떤 값이라도, 4/n = 1/x + 1/y + 1/z 를 만족하는 양의 정수해 x, y, z가 존재하겠느냐는 겁니다.
※ 혼동의 여지가 있어서 조금 고쳤습니다.
5차 부정 방정식
다음 방정식을 만족하는 서로 다른 자연수 a,b,c,d가 존재할까요?
일곱 개의 세제곱들의 합
454보다 큰 모든 정수는 일곱 개 이하의 양의 정수를 세제곱한 것들의 합으로 나타낼 수 있을까요?
유리수 거리
평면 위에 한 변의 길이가 1인 정사각형이 놓여 있습니다.
이 정사각형의 네 꼭지점에 이르는 거리가 모두 유리수인 점이 이 평면에 존재할까요?
유리수 상자
임의의 두 점 사이의 거리가 모두 정수인 직육면체가 존재할까요?
내접 정사각형
평면 위에 단순 폐곡선이 주어졌을 때, 정사각형의 네 꼭지점이 되는 점들이 이 곡선 위에 존재할까요?
단순 폐곡선이란 자기 자신과 만나지 않는 폐곡선을 말합니다.
우아한 트리
유한 개의 점과, 그 점들을 잇는 선들로 이루어진 도형을 "그래프(graph)"라고 합니다.
이 때, 이 그래프의 점을 "버텍스(vertex)"라고 하고, 버텍스들을 잇는 선을 "에지(edge)"라고 합니다.
그래프 가운데, 한 버텍스에서 다른 버텍스로 에지를 따라 가는 방법이 유일할 때, 이런 그래프를 특별히 "트리(tree)"라고 합니다.
전산이나 컴퓨터 프로그래밍을 공부한 분이라면 "트리 구조"라는 걸 아실 겁니다.
n 개의 버텍스를 갖는 트리에, 1부터 n까지 숫자를 준 다음, 각 에지에는 양 끝의 두 버텍스에 주어진 숫자들의 차를 줍니다.
이렇게 했을 때, 만약 에지의 숫자들이 모두 다르다면, 이 트리는 "우아하다(graceful)"고 정의합니다.
예를 들어, 9 개의 버텍스를 가진 트리에 다음 그림처럼 숫자를 줍니다.
5 1----4 / / 7----3----9----2 \ \ 6 8
이 트리의 에지는 1부터 8까지의 서로 다른 숫자를 갖습니다.
따라서, 이 트리는 우아한 트리(graceful tree)입니다.
그런데, 혹시 모든 트리는 다 우아하지 않을까요?
아직 아무도 증명이나 반증을 하지 못했습니다.
마법의 나이트 경로
8x8 체스판 위에서 나이트(knight)가 어떤 칸도 꼭 한 번만 방문하도록 움직이면서, 방문하는 칸마다 1부터 64까지 차례대로 번호를 붙입니다.
이 때, 그 결과가 마방진이 되게 할 수 있을까요?
semi-magic knight tour라고 해서, 가로 세로의 합이 모두 같게 되는 경로는 발견되었지만, 대각선의 합까지 모두 같은 것은 아직 발견되지 않았습니다
미해결 문제 출처 : http://puzzle.jmath.net/math/essay/unsolved.html
수학소식
[해외토픽] '펭귄은 응용수학의 대가' |
남인도양에서 펭귄 30쌍을 관찰해온 파리-쉬드대학 생물학자들은 펭귄이 강풍이 부는 서식지에서 접촉을 유지하기 위해 본능적으로 수학적 통신 이론을 이용하고 있다면서 풍속에 따라 음절과 울음의 수를 늘린다고 주장.
펭귄 한쌍은 교대로 알을 품고 새끼를 기르는데 한 마리가 사냥을 나갔다 돌아돌때 약 4만마리나 되는 무리 속에서 울음소리를 듣고 새끼를 돌보고 있는 상대방을 알아차린다는 것.
생물학자들은 펭귄이 약한 바람에도 목청껏 우나 강풍에서 더 이상 목소리를 높일 수 없을 때는 울음과 음절의 수를 늘려 자기 짝을 찾는다고 설명했다
[프랑스] 한국학생 수학. 과학 성적 세계 2위 |
프랑스 국립 경제학 및 통계학연구소는 17일 보고서를 통해 수학 과목 성적에서는 싱가포르 학생들이 1위, 한국 2위, 일본 3위, 홍콩 4위 등의 순서였다고 밝혔다.
또 과학 과목에서는 싱가포르 학생들이 역시 1위를 달렸으나 2위는 체코공화국출신 학생들이 차지했으며 일본 3위, 한국이 4위를 기록했다.
[OECD] 한국 초4-중2 수학 학습성취도 1위 |
15일 교육부가 UNESCO, OECD 등 국제기구 자료를 토대로 펴낸 [통계로 본 세계속의 한국 교육]에 따르면 초등학교 4년생을 기준(95년)으로 수학 학습 성취도면에서 평균 471점을얻어 일본(457점), 미국(407점)을 제치고 OECD 16개국 가운데 1위를 차지했다.
중학 2년생(607점)도 일본(605점)을 근소한 차로 따돌리고 수위에 올랐다.
또 성인 문맹률은 우리 나라가 2%에 불과, 멕시코나 중국, 홍콩, 필리핀 등 경제규모가 비슷한 29개국 중 제일 낮았다.
그러나 우리 나라의 취학전 교육(유치원)에 대한 공교육비의 비율(94년 기준)은 1%에 그쳐 중국(1.4%), 태국(1.8%)보다 낮았으며, 초등교육의 경우도 44.5%로 아르헨티나(72.3%), 태국(51%) 등 보다 뒤처졌다.
중등교육(한국 34.4%, 프랑스50%, 말레이시아 41.2%, 뉴질랜드40.7%)도 마찬가지였다.
특히 고등교육에 대한 공교육비 투자비율은 한국이 7.9%로 네덜란드(39%), 미국(93년 23.3%), 일본(92년13.5%) 등 다른 나라보다 월등히 낮았다. 또 연구개발비 가운데 정부투자 비율은 한국이 15.9%로 홍콩(91%), 태국(79.7%), 미국(35.5%) 등에 비해 극히 낮은 수준이었다.
[유머] 수학괴담 |
① 공식을 외워도 어디다 써먹을지 모를 때
② 예전에맞췄던 문제 다시 풀었는데 틀렸을 때
③ 날짜가 25일이고 내가 25번일 때(지적 대상 1순위, 하루 종일 긴장…)
④ 수학 시험 시간에 시간이 남아돌 때
⑤ 시험지에 계산하라고 있는 여백에 그림 그리고 있을 때
⑥ 틀린 개수만큼 맞을 때(도대체 몇대를 맞아야 하는지…)
⑦ 시험지에 각자 자기 틀린 것만 다시 풀어오라고 숙제 내줄 때(틀린 게 한두개여야지.)
⑧ 딴 애들은 칠판에 나가 조금이라도 끄적이다 복도로 나가는데 나는 바로 복도로 직행할 때
⑨ 시험중 도형의 길이를 구하라는 문제에서 직접 자 대고 길이 잴 때
⑩ 주관식 답은 무조건 ‘1’이라고 쓸 때(만만한 게 ‘0’ 아니면 ‘1’)
⑪ 미지수를 푸는 문제에서 보기에 있는 숫자를 일일이 다 대입해볼 때
⑫ 참고서에 있는 답 모조리 외워갔는데 막상 머리속이 텅텅 빌 때
⑬ 색연필로 점수매기는데 온통 빨간 소나기가 내릴 때
⑭ 모두 객관식이었는데 빵점 받았을 때
⑮ 확률문제…. 공식 안쓰고 일일이 하나하나 적어서 풀 때(무식하면 손발이 고생이다
익명 작성일 - 처음에는 수학신문이라고 해놓고,,,
수학자의 생애
<!- 그림이 있는 경우 ->
| 가우스 (1777 - 1855) : 도이칠란트의 수학자 | ||||||||||||||||
| 19세기 전반 최대의 수학자로서, 순수 수학에는 물론, 응용 수학에도 눈부신 업적을 남겨 '수학의 왕자'로 불리고 있다. 그의 업적은 현대수학과 이론 물리학 외에, 오늘날의 과학 기술 분야의 발전에도 커다란 비중을 차지하고 있다. 그는 브란시마이크의 가난한 노동자 집안에서 태어나, 불과 10세때 등차 급수의 합을 구하는 공식을 알아내어 선생님을 깜짝 놀라게 했다고한다. 나중에 브린시바이크 공의 도움으로 괴딩겐 대학에서 공부하였다. 학생시절인 19세때 유클리드 이래 2000년간 삼각자와 컴퍼스만으로는 그릴 수 없다고 생각해 왔던 정 17각형을 그릴 수 있음을 증명해, 대수학자로서의 면모를 보여주었다. 또, 최소 제곱수를 발견하여 복소수평면을 발표하였으며, 1799년에는 이른바 대수학의 기본 정리를 증명함 | ||||||||||||||||
| 으로써 학위를 받았다. 그는 정 14각형 그리는 방법을 정수론 에서 얻었는데, '수학은 모든 과학의 여왕이며, 정수론은 수학의 여왕이다.' 라고 말함으로써, 정수론을 가장 높이 평가하였다. 또한 1801년에는 <수론연구> 를 발표하여 정수론을 새로운 단계로 끌어올리는 획기적인 업적을 쌓았다. 1801년 이후로는 괴팅겐 대학 교수로 평생을 보냈는데, 그는 정수론 이외에도 최소 제곱법을 비롯한 곡면론,허수론,방정식론등을 깊이 연구해 수학의 새로운 분야를 개척하였다. 그리고 타원함수의 발견과 최초로 완전한 정의를 내린 복소수등은 그가 죽은 후, 그의 유고에서 발견되었다고 한다. 그의 증명은 이전의 뉴우튼, 오일러 시대의 수학과 그 이후의 수학을 수학 사상적으로 구분하게 되었다. 복소수란 말도 그에게서 비롯된 것으로, 자기 유도의 단위인 '가우스'란 말도 그의 이름에서 딴 것이다.
<!- 그림이 없는 경우 ->
수학만화
수학뉴스
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수능 수리영역 '가'형이 '나'형보다 불리 거의 모든 대학이 수능 원점수 대신 ‘상대평가 점수’인 표준점수를 반영키로 한 데 따른 것으로, 학력이 낮은 학생이 많은 과목의 경우 표준점수가 상대적으로 높아지기 때문이다. 수리영역에서는 학력이 떨어지는 수험생들이 쉬운 ‘나’형으로 몰려 수리영역의 점수 왜곡 현상이 심각해질 것으로 전망됐다. 수리 ‘가’형은 고교 수학1, 수학2, 선택과목(미분과 적분, 확률과 통계, 이산수학 중 택1)에서 출제되며, 수리 ‘나’형은 수학1에서만 출제된다.
문 교수는 “이 같은 분위기가 일면 수학을 잘하는 학생들도 ‘나’형으로 몰릴 가능성이 있어 전체 학생의 수학 실력이 낮아지고, 이는 대학 이공계 학부(학과)들의 질적 저하와 과학기술계 위기를 가속화시킬 것”이라고 지적했다. 문 교수는 작년 10월 경기도교육청이 전국 고교생 46만명을 대상으로 실시한 ‘2005 모의수능’ 자료를 근거로 이 같은 결과를 계산해냈다. 수리 ‘가’형(전체 수험생의 34.6%인 16만명이 선택, 전체평균 47.26점, 표준편차 22.77)에서 원점수로 78점, 66점(100점 만점)을 득점한 경우 표준점수는 127점과 116점으로 계산됐다. 수리 ‘나’형(전체 수험생의 65.4%인 30만명이 선택, 전체평균 30.69점, 표준편차 19.58)에서 원점수로 78점, 66점을 득점한 경우 표준점수는 148점과 136점이 됐다. 원점수가 같아도 ‘나’형의 표준점수가 훨씬 높아짐을 알 수 있다. 일부 대학이 어려운 수리 ‘가’형 선택자에게 가중치를 0.5~10% 주기로 했으므로, ‘가’형 표준점수 127점과 116점에 최고 가중치 10%를 부여해도 140점, 128점으로 ‘나’형 표준점수보다 여전히 낮다. 이는 수리 ‘가’형과 ‘나’형 원점수가 같은 경우를 비교한 것으로, 실제 실력이 같은 학생이 수리 ‘가’형과 ‘나’형을 따로 볼 경우 ‘나’형 응시자의 원점수가 훨씬 높게 나올 수밖에 없어 표준점수 격차는 더 벌어지게 될 것이라고 문 교수는 분석했다. 2005학년도 대입에서 자연계 수험생 전형에 수리 ‘가’형을 반영하는 대학은 28곳, ‘가’형과 ‘나’형 어느 것이든 하나를 받아 반영하는 대학은 145곳이나 된다. 특히 의·치·한의대의 절반 정도가 ‘가형 또는 나형’ 반영 계획이어서, 자연계 우수 학생이 높은 표준점수를 노리고 수리 ‘나’형을 대거 지원할 가능성도 점쳐지고 있다고, 일선 학교와 입시학원 등에서 우려하고 있다. 문 교수는 “이런 수리 점수 왜곡과 그로 인한 이공계 학문의 질적 저하를 막기 위해서는 이공계 학과는 수리 ‘가’형, 인문계 학과는 수리 ‘나’형을 전형에 반영하도록 의무화해야 한다”고 말했다.
여러내용좀 구했는데 도움이 되실지.;; 하튼 도움이 됬으면 좋겠습니다.... 수학신문 열심히 만드세요^_^ |
익명 작성일 - 익명 작성일 - 근대 수학의 아버지 가우스(Garl Friedrich Gauss;1777~1855)는 대수학의 기본 정리를 비롯하여 정수론, 해석 함수, 타원 함수, 미분 기하학, 비유클리드 기하학, 위상 수학 등의 새로운 분야를 개척하였다. 또 천문학과 전자기학, 측지학에도 많은 업적을 남겼다.
영주의 원조를 받아 진학
카를 프리드리히 가우스(Garl Friedrich Gauss;1777~1855)는 프러시아 북부의 하노버와 가까운 브라운슈바이크에서 1777년에 태어났다. 가우스의 아버지는 정원사와 벽돌공 일을 하고 있었는데, 자기 자신이 그의 능력에 합당한 교육을 받는 일에 한사코 반대하였다. 이 아버지에 대해서는 한번도 마음으로부터 애정을 느낀 일이 없었다고 가우스 자신도 공언하고 있다. 이에 반하여 가우스의 어머니는 가우스에게 큰 기대를 걸고 애정을 그를 지켜 보았다. 97세로 이 세상을 떠난 그녀는 죽을 때까지 자식을 자랑스럽게 여겼다. 가우스도 진정으로 마음으로부터 어머니를 섬겼는데, 어머니가 세상을 뜨기 4년 전에 앞이 안 보이게 되자 자신 이외의 누구도 어머니의 시중을 들지 못하게 했을 정도였다.
어머니의 남동생(외숙부) 프리드리히도 뛰어난 재능을 가지고 있었는데. 그는 어린 가우스를 잘 교육하였다. 이 외숙부에 대해 가우스가 감사해 하는 마음은 그 자신의 이름에 프리드리히가 되어 영원히 남아 있다.
가우스 자신이 "나는 이야기를 시작하기 전에 벌써 계산하였다."고 말한 것처럼 그의 계산 능력은 천부적이어서, 세 살 때에 이미 아버지의 계산 잘못을 지적했을 정도였다. 또 10세 때에는 학교 선생님이 낸 등차 급수(等差 級數, geometric series)의 합의 문제를 즉석에서 풀어 선생님을 놀라게 하였습니다. 이를 기뻐한 선생님은 당시에 가장 내용이 충실하다는 산술 교과서를 사서 가우스에게 주었다. 가우스가 단숨에 그것을 읽어 버린 것을 보고 선생님은 놀라고 말았다. 그 후부터는 그 선생님의 친구였던 파테르스가 대수학에서의 가우스의 스승이 되었다. 파테르스가 대수학에서의 가우스의 스승이 되었다. 파테르스는 또 브라운슈바이크공(公)이었던 페르디난(Ferdinand) 공작에게 가우스의 이야기를 하였고, 가우스는 이 공작의 재정적 원조 덕택으로 카롤린 고등학교(3년)와 괴팅겐 대학(3년)을 마칠 수 있었다.
그 후에도 공작은 가우스에게 연금(年金)을 주어 그가 연구를 계속할 수 있게 하였다. 1806년에 나폴레옹이 프러시아를 침공하자 공작은 프러시아 군의 사령관이 되어 싸웠는데 결국 패하고 말았다. 당시 브라운슈바이크에 살았던 가우수 집 앞의 큰 길을 반사 상태의 중상을 입은 공작의 마차가 지나가는 것을, 가우스는 슬퍼 보고 있을 수밖에 없었다. 공작이 죽은지 2년 후에 가우스의 아버지도 이 세상을 떠났다. 보호자를 잃어 곤궁에 빠진 가우스에게 러시아의 페테르부르크(현재의 레닌그라드) 학사원에서의 부름이 있었다. 그러나 당시 이미 세계 최고의 수학자가 되어 있던 가우스를 독일에 머물게 하기 위하여 홈볼트(A.F.von Humboldt;1769~1859)를 비롯한 여러 사람이 가우스에게 괴팅겐 천문대장의 자리를 마련해 주었다. 그 괴팅겐에서 가우스는 그 후 50년 동안 연구 생활을 하게 되었다.
고교 시절에 최소 제곱법을 발견
가우스의 생활은 매우 간소하였다. 어떤 친구가 말한 것처럼 '작은 서재, 녹색의 덮개를 씌운 작은 책상, 희게 칠한 키가 큰 책상, 폭이 좁은 소파, 70세 때부터 사용한 팔걸이 의자, 갓이 달린 램프, 불기가 없는 침실, 변변치 않은 식사, 실내복, 벨벳의 모자, 이것이 그가 필요로 한 모든 것이며 그것은 또한 그에게 썩 잘 어울리는 것이었다.'
그는 오락으로 새로운 과학, 외국어, 고전 문학, 그리고 세계 정치를 즐겼다. 그는 매일 아침 한 시간 정도 박물관에 들러 세계 각국에서 오는 신문을 읽는 것을 큰 즐거움으로 삼았다. 그의 보호자였던 페르디난드 공작이나 그의 조국, 그 자신을 괴롭혔던 나폴레옹의 생애에 관한 문헌들도 이리저리 뒤지며 이책 저책을 읽은 것으로 알려져 있다.
고등학교 재학 중에 가우스는 뉴턴의 <프린키피아(Principia)> (자연 철학의 수학적 여러 원리)를 읽고 깊은 인상을 받았다. 그 후 일새 동안 뉴턴에 대한 가우스의 존경심은 변하지 않았다. 가우스는 고등학교에 재학할 때부터 정수론(整數論,Theory of numbers)에 대한 연구를 시작하였으며, 또 '최소 제곱법(method of least squares)'을 발견하였다. 또 많은 측정을 하여 미지수의 수보다도 훨씬 많은 방정식을 얻었다. 이 경우에 가장 확실하다고 생각되는 미지수의 수치를 추정하는 방법이 바로 최소 제곱법이다.
1796년에 19세의 가우스는 자와 컴퍼스만으로 정17각형을 작도하는 방법을 발견하였는데, 이것이 가우스로 하여금 수학의 세계에 헌신하겠다는 결단을 내리게 하였다. 이 1796년~1814년에 이르는 사이의 수학적 발견을 가우스는 과학 일기에 기록하였다. 이 일기가 학계에 공표된 것은 가우스가 세상을 떠난 후 43년이 지나고 나서의 일이었다. 이 기술은 장기간의 연구 결과만을 간단히 기록한 것이로, 그 해독은 매우 어려웠다. 그러나 지금은 그 안에 기록된 146개의 기술 중에서 두 개만을 제외하고는 모두가 무엇을 의미하는지를 알게 되었다. 그것은 참으로 놀란 만한 일기인데, 이것은 당시의 수학계보다도 가우스가 약1세기 정도 앞서 있었다는 것을 나타내 주는 증거이기도 한다.
이처럼 개인의 일기에 쓴 것이지만. 가우수는 그가 얻은 결과를 여간해서 공표하지 않았다. 그것은 그의 완전주의 때문으로, 마지막에 발표할 때에도 그 결론에 도달하게 된 사고 과정이나 기초 등은 완전히 제외하였다. 따라서 그가 얻은 결과는 옳았지만 그것을 일반 수학자가 이해하기는 매우 어려웠다. 그 사이에 주석이 있어야만 비로소 이해할 수 있는 그러한 것이었다. 그가 사용한 스탬프에는 적은 수의 과실이 달린 한 그루의 나무가 그려져 있는데 '적은 수이지만 다 익었다.'는 표어가 새겨져 있었다. 그는 전적으로 그 표어 그대로 일하는 스타일을 가지고 있었다.
'정수론은 수학의 여왕이다.'
1799년에 가우스가 박사 학위를 딴 논문의 제목은 <대수학의 기본 정리>이다. 이 논문은 모든 대수 방정식(代數方程式)이 그 차수와 같은 수의 근(根,root)을 가진다는 것을 밝힌 것이다. 가우수에 따르면 이 경우의 근은 a+bi의 형태를 하고 있다. 단 a와 b는 실수이고, i는 허수(虛數,imaginary number)'라고 불리게 되었다. (a, b)를 데카르트 좌표(카테시언 좌표)라고 하고 복소수를 평면상의 한 점에 대응시켜 이 점과 원점을 연결하는 화살표를 생각하면, 이 화살표는 역학이나 물리학에 자주 등장하는 벡터(vector)와 비슷한 성질을 나타낸다. 예를 들어 힘의 합에 관한 '평해 사변형의 법칙'은 그것이 그대로 복소수의 합에 대응하는 것이다.
1801년에는 저서 <정수론 연구>를 출판하였는데, 이 책은 그의 후원자였던 페르디난드 공작에게 바쳐졌다. 정수론은 가우수가 가장 높이 평가한 연구 분야인데, "수학은 여러 과학의 여왕이고, 정수론은 수학의 여왕이다."라고 말할 정도였다. 이 저서에서 가우스는 n개의 미지수를 가진 n개의 연립 1차 방정식을 푸는 올바른 방법을 발표하였으며, 그 안에서 행렬식(行列式,determinant)의 생각을 사용하였다.
이 무렵에 가우스이 관심은 순수 수학을 떠나 천문학, 측지학, 전자기학 등의 실제적인 방면으로 옮겨가고 있었다. 그 계기가 된 것은 19세기의 첫날에 이탈리아 바레르모 천문대의 피아치(G.Piazzi;1746~1826)가 발견한 행정 케레스였다. 케레스는 며칠 동안 관측되고 나서 어딘가로 사라지고 말았다. 이 며칠 동안 관측되고 나서 어딘가로 사라지고 말았다. 이 며칠동안의 관측만을 기초로, 가우스는 케레스가 다시 나타날 위치를 계산하는 일에 몰두하게 되었다. 이 계산은 이러한 종류의 계산을 하다가 스위스의 수학자 오일러(L. Euler ; 1797~1783)가 눈이 멀게 되었다고 하는 엄청난 계산이었다. 마침내 그가 예언한 위치에서 케레스가 발견되었다. 가우스의 이름이 더욱 유명해진 것은 말할 나위도 없다. 이 계산 방법을 설명한 논문은 1865년에 출판되었는데, 그 논문에서 그는1795년이래 그가 이용해 온 최소 제곱법의 설명도 발표하였다.
1805년에 가우스는 결혼을 하였다. 그러나 이 부인은 세 명의 자식을 남기고 1809년에 세상을 떠났다. 그리고 그보다 3년 전에 그의 은인 페르디난드 공작도 죽고 나폴레옹의 침략을 받은 독일은 비참한 상태에 빠지고 말았다. 그러나 1810년에 재혼을 하면서 가우스의 상황은 다시 호전되었다.
공표되지 않은 수많은 발견
1811년에 가우스는 복수소 Z=X+Yi의 해석함수(解析函數, analytic function) f(x)를 연구하였다. 해석함수는 일의적(一義的)이고 또 정칙(正則)한 함수이다. Z의 어떤 수치 대하여 f가 단 하나의 정해진 수치를 취하는 것이 일의적이고, Z 주변의 어떤 점으로부터 이것에 접근하여도 그 미분치(微分値)가 단 하나로 정해지는 것이 정칙이다. 복소 함수가 해석기이기 위한 조건으로서 이른바 '코시의 정리'가 있다. 이 정리는 가우스가 발견하고, 그보다 뒤에 프랑스의 코시(A.L. Cauchy;1789~1857)가 다시 발견하였다. 중력론, 전자기학, 각도를 바꾸지 않는 지도의 투영, 즉 등각사상(等角寫像)의 연구에 해석 함수는 꼭 필요한 것이다.
해석 함수, 중력론, 전자기학, 천채 운동의 연구와 관련하여 가우스는 퍼텐셜(potential)이라는 양(量)을 고안하고, 그에 대한 기본적인 논문을 1840년에 발표하였다. 중력이나 전자기력은 벡터(vector)이고 크기와 방향을 가진 양이다. 이에 대해 퍼텐셜은 크기만을 가진 양이고, 스칼라(scalar)라 불린다. 스칼라인 퍼텐셜을 어느 방향으로 미분(微分)하면 그것이 그 방향의 힘의 성분이 된다. 힘의 세 성분을 조사하는 대신에 하나의 스칼라량(量)인 퍼텐셜만을 연구하면 된다는 의미에서 퍼텐셜은 물리학에서 매우 유용한 양이다. 이 연구가 바로 가우스에게서 시작된 것이다.
해석 함수의 연구에서 가우스가 코시에 앞섰던 것과 마찬가지로, 앞에서 말한 최소 제곱법에서는 가우스는 이것을 재발견한 프랑스의 르장드로(A. M. Legendre;1752~1833)보다 앞서고 있었다. 또 가우스의 과학 일기의 1799년의 기술에 따르면 타원의 둘레를 구하는 문제와 관련된 이른바 타원 적분(타원 함수)의 2중 주기의 문제도, 가우스는 노르웨이의 아벨(N. H. Abel;1802~1829)이나 독일의 야코비(K. G. J. Jacobi;1804~1829)에 앞서서 발견하였다. 삼각 함수(三角函數)가 2라는 주기를 가지고 있는데 대하여, 이 타원 함수는 2중 주기를 가지고 있는 것이다.
또 뒤에서 말하게 될 비유클리드 기하학(non-Euclidian geometry)에서는 러시아의 로바체프스키(N. I. Lobachevskii;1793~1856)에 앞서고 있었다. 참으로 대단한 천재가 아닐 수 없다. 더구나 그가 그것을 발견하고 몇 년 후에 다른 사람이 같은 것을 재발견하여도, 가우스는 침묵을 지킨 채 자신의 우선권을 주장하지 않았다. 그가 이들보다 앞섰다는 것은 과학 일기 또는 개인에게 보낸 서신에 의해서만 밝혀지는 그런 일이었던 것이다.
비유클리드 기하학을 개척
가우스는 1820년경부터 1850년경에 걸쳐서 정부의 측지 관계의 학술 고문을 맡아, 측량이나 자기측량(磁氣測量)의 기초를 구축하였다. 측량 관계의 방대한 데이터를 정리하는데에는 그가 소년 시절에 생각해 낸 최소 제곱법이 도움이 되었다. 또 측량 관계의 일이 자극이 되어 곡면 기하학에 대한 그의 연구가 시작되었다. 곡면 기하학에 그가 도입한 중요한 생각은 '곡률(曲率)'이다. 곡률은 이 곡선에 가장 잘 일치하는 원의 반지름으로 정의된다. 반지름이 작으면 작을수록 곡선은 갑자기 굽어지고, 이 점에서의 곡률은 커지게 된다. 면의 곡률도 이와 거의 같은 방식으로 정의된다. 가우스는 곡면 위의 한 점 부근의 측정만으로 곡면의 곡률이 결정된다는 것을 밝혔다.
곡면 기하학과 관련되어 가우스는 현재 '미분 기하학(微分 幾何學, differential geometry)'이라 불리고 있는 학문이 기초를 세웠다. 곡률이 그 좋은 보기인 것처럼 미분 기하학은 한 점의 바로 부근에서의 곡선이나 곡면, 또 보다 고차의 성질을 연구하는 학문이다. 한 점과 아주 가깝다는 조건 등으로, 미분기하학에서는 거리의 제곱 이상의 항은 생략된다. 가우스의 연구에서 영감을 얻은 독일의 리만(G. F. B. Riemann;1826~1866)은 1854년에 '기하학의 기초를 이루는 가설'이라는 논문을 썼다. 언뜻 생각하면 미분 기하학은 추상적인 학문이어서 현실의 세계와는 아무런 관련도 없을 것처럼 보인다. 그렇지 않다는 것이 밝혀진 것은 20세기가 되어서이다. 1910년에 아인슈타인이 제창한 '일반 상대성 이론'에서 미분 기하학은 중요한 역할을 하고 있다.
곡면 기하학과 관련되어 가우스는 비유클리드 기하학을 연구하였다. 그리스 시대의 기하학자 유클리드가 세운 제5의 공준(公準, postulate)에 따르면, 주어진 직선 위에 없는 한 점을 지나 그 직선과 평행한 직선은 오직 하나만 그을 수 있다. 그러나 가우스는 이러한 평행선을 몇 개나 그을 수 있다는 공리(公理, axiom)에서 출발하여도, 모순이 없는 2차원의 기하학이 만들어진다는 것을 보였다. 이 경우에도 밝혔을 뿐이지 그것을 발표하지는 않았다.
측지학이나 전자기학에도 공헌
이론적 연구만이 아니라 가우스는 또 타고난 실험적 재능을 갖추고 있었다. 측지학에서 반사광을 보내는 데 사용되는 체오돌라이트(천체나 다른 물체의 방위각과 양각을 재는 기계), 자기력계, 전신기 등이 그의 뛰어난 능력에 의해 만들어진 것이다. 실 끝에 자석을 매달아 그 진동의 주기를 측정하고, 다른 장소에서 똑같은 측정을 하면 이 두 장소에서의 자기력의 비례를 구할 수 있다. 이러한 측정을 비교 측정이라고 한다. 가우스는 물리학자인 베버(W. Weber ; 1804~1891)와 함께 이러한 비교 측정이 아닌 지구 자기의 절대 측정법을 고안하고 또 실제로 실행하였다. 물리학에서는 모든 물리량은 길이, 질량, 시간의 세 기본 단위로 나타내 주어야 한다. 자기력이라던 것이다. 그의 이 연구를 기념하여 자기 선속 밀도(磁氣線速密度)의 단위로서 '가우스'가 사용되고 있다.
가우스는 4차수에 대해서도 연구하였다. 4차수는 간단히 말해 a×b=b×a라는 곱셈의 교환율(交換律)이 성립되지 않는 수이다. 가우스와 같은 시대의 영국의 수학자 해밀턴(W. R. Hamilton ; 1805~1865)은 약 15년의 세월이 걸려 이 기묘한 수를 연구하였다. 가우스가 같은 결론에 도달하는 데에 어느 정도의 세월이 걸렸는지는 분명하지 않다. 다만 자신의 과학 일기의 몇몇 페이지에 자신이 얻은 결과만을 간결하게 써 놓았을 뿐이다.
곱셈의 교환율이 성립하지 않는 양은 현실 세계와는 관련이 없는 것처럼 보인다. 20세기에 들어와서야 미분 기하학의 경우와 마찬가지로 이것도 역시 현실 세계와 밀접한 관련이 있다는 것이 밝혀졌다. 즉 1920년에 등장한 '양자 역학(量子力學, quantum dynamics)'에서 이러한 물리량이 문제가 된 것이다. 가우스는 또 현재 '위상 기하학(位相幾何學, topology)'이라 불리고 있는 기하학을 연구하였다. 이것은 도형이나 공간을 연속적으로 변형시켜 나갈 때, 그 변형에도 불구하고 불변인 성장을 조사하는 기하학이다. 그 종류의 문제에 대한 한 가지 보기는 주어진 곡면에 절단선을 가한 후 그 곡면을 한 평면 위에 평탄하게 펼치려면, 최소한 몇 개의 절단선을 곡면에 가해야 되는가 하는 문제이다. 원뿔면, 원환면(圓環面), 구면(球面)에 대한 절단선의 수가 각각 1, 2, 그리고 무한치가 된다는 것은 곧 알 수 있을 것이다. 이러한 기하학의 기초를 세운 사람이 가우스이다.
청년 시절의 가우스는 밀려드는 새로운 관념들을 제어할 수가 없어서 종종 침묵을 지키고, 그것을 기록하는 일만 했다고 한다. 이러한 가우스의 천재성의 비밀은 어디에 있는 것일까? 이 질문에 가우스는 답하고 있다.
"어떠한 사람이라도 나처럼 깊이, 또 부단히 수학적 진리에 몰두하면 그들도 마찬가지의 일을 할 수 있다." 이것은 그가 가장 존경한 뉴턴이 말한 "언제나 그 일을 계속 생각함으로써 발견할 수 있다."는 말과 같다고 할 만큼 유사하다.
수학의 다양한 분야를 개척하고 근대 수학의 아버지가 된 가우스는 1855년 2월 23일에 77세로 생애를 마쳤다. 그 직후 그가 평생 동안 몸에 간직하고 있던 시계도 멈췄다고 한다.
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고1수학 1단원~3단원까지의 내용으로 수학신문에 들어갈 광고를 만들어주세요ㅜㅜㅜㅜㅜㅠ2개정도 필요합니다 안녕하세요. 10년차 수학 과외 교사입니다. 단원 내용으로...
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제가 수학신문을 발표해야하는데 8분~15분 정도 선생님이 하시라고 하셨어요..어떻게 해야 8분을 채울수있고 임팩트를 남길수있을까요??내일이고 제가 1번째라서..ㅜ빨리 답변...
