F(a)=인테그랄 밑(0) 위(파이/2) l sinx-acosx l dx 에 대하여 F(a)가...

문제의 함수

를 실제로 계산해봅시다. 우선 a ≤ 0 이면 절대값 내부가 적분범위 내에서 언제나 음이 아닌 실수이므로, 절대값을 벗길 수 있고 따라서

입니다. 이제 a > 0 인 경우를 살펴봅시다. 그러면 절대값 내부의 함수는 sin x - a cos x = 0 이 되는 지점인 x = arctan(a) 를 기준으로 해서, 0 ≤ x ≤ arctan(a) 인 범위에서는 0 이하가 되고 arctan(a) ≤ x ≤ π/2 인 범위에서는 0 이상이 됩니다. 따라서

한편, 밑변의 길이가 1 이고 높이가 a 인 직각삼각형의 삼각비를 이용하면

임을 알 수 있고, 이를 위 식에 대입하면 a > 0 인 범위에서 F(a) 는

와 같이 계산됩니다. 이 함수가 최소가 되는 지점을 조사하기 위해 F'(a) 를 계산해봅시다. F(a) 의 범위에 따라 도함수를 계산해보면

이며, 이로부터 F'(a) 의 부호를 조사해보면

a 의 범위
F'(a) 의 부호	-	0	+

를 얻습니다. 따라서 F(a) 는

에서 최소값을 갖습니다.

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참고로, 실제로 F(a) 의 그래프를 그려보면 다음과 같습니다.

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