수학 벡터과 내적 문제 부탁드립니다...(내공많이 겁니다) 아는것만 해주...

안녕하세요.

서울대학교 전기공학부 수리과학팀입니다^^

질문사항이 있으시면 언제든 쪽지주세요^^

 

 

 

 

 

 

1,a= (4,6) b=(-4,-4) 일때 (10,10) = ha+kb가 ㄷ하눈 스카라 h 와 k를 구하여라

 

ha + kb = (4h - 4k,  6h - 4k ) = ( 10, 10)

h=0, k = -5/2

 

 

 

 

2, 다음벡터의 잡합은 1차독립인가 판정하라

 

*** 1 차 동립의 정의는 다음과 같습니다.(3차원기준)

ax1 + bx2 + cx3 = 0 일때,( x1, x2, x3는 3차원 벡터)

위 식을 만족시키는 값이 a=b=c=0 인 경우밖에 없을때,

x1, x2, x3 를 linearly independent(1차 독립) 이라고 합니다.

 

 1) a= (2 ,-4 ,2 ) b=(6,2.0)

 

pa + qb = 0을 생각하자.

(2p + 6q, -4p + 2q, 2p) = (0, 0, 0)

따라서 p = 0, q = 0

그러므로 a, b 는 1차독립

 

 

2) a = ( 4,-2,0 ) b= (2,0,6) c=(4,2.0) 

 

pa + qb + rc = 0을 생각하자.

(4p + 2q + 4r,  -2p + 2r, 6q) = (0, 0, 0)

3번쨰 항에 의해 q = 0,

2번째 항에 의해 p=r,

1번쨰 항에 의해 p+r = 0

따라서 p=q=r =0 그러므로 a, b, c는 1차독립

 

3 a=(p,28,-q) 과 b= (2,4,-2)가 1차 종속이 되게 p q을 넣어라

 

a,b 가 1차 종속이 되려면,

a = kb 꼴이 되어야한다.

따라서 두번째 항에 의해 k = 7 임을 알수 있다.

그러므로 p = 14, q = 14

 

 

4. a가 1차 종속이기 위해 필요한 필요충분조건은 a=0 이다를 증명하시오

 

역시 1차독립 조건을 생각해보면

p a = 0 을 생각해봅시다.

이경우 p = 0 일수밖에 없는 경우에 a 가 1차독립인 것이고,

a = 0 인 경우가 1차 종속입니다.

따라서 a가 1차 종속이기 위한 필요충분조건은 a=0 입니다.

 

 

 

5, 공간의 3개의 백터 e1 = (1,0,0) e2=(1,0,0) e3=(0,0,1)는 基底(기저) 임을 나타내어라

ae1 + be2 + ce3 = 0 를 생각해보자.

 

(a, b, c ) = (0, 0, 0) 이므로,

a=b=c=0 이다.

따라서 e1, e2, e3 는 1차 독립이고

각각의 벡터의 dimension 이 3 이므로,

e1, e2, e3 는 3dimension vector space의 basis(기저) 이다.

 

특별히 이경우 e1, e2, e3를 단위 기저라고 한다.

 

 

 

 

 

 내적

1.밑의 그림에서 aob =3  lal = 2  lbl=루트3일때 a와b의 교각을 구하여라 (그림이 서툴러 죄송합니다;ㅁ;)

 

 

a●b 의 정으를  보면

a●b = |a||b|cos@  입니다. (@는 세타)

위 조건에 따르면

3 = 2* sqrt(3) cos@ (sqrt 는 root)

then, cos@ = sqrt(3)/2

따라서 @ = 30도

 

 

 

2. 공간의 기저 e1 =(1,0,0) e2=(0,1,0) e3=( 0,0,1)는 정규직교기저임을 나타내어라

 

|e1| = |e2| = |e3| = 1 이고,

자명하게,

e1●e2 = 0

e1●e3 = 0

e2●e3 = 0

이므로,

e1, e2, e3 는 normalized-orthogonal basis!!

 

 

 

외적

 

1. a와 b가 1차 독립일경우 a x 2b  와 -3a x b 각각의 크기와 방향을 그림으로 표시하여라

 

????????

ax2b  = 2(axb)

-3a x b = -3(axb)

따라서 각각의 크기는 axb 의 2배, 3배이며,

방향은 ax2b는 axb 와 동일하고, -3a x b는 반대이다.

 

원하는 답이 이것인가요??

 

 

2, 다음을 증명하여라

1) e2 x e3 = e1

 

e2 = (0, 1, 0)

e3 = (0, 0, 1)

e2 x e3 = (1*1 - 0*0, -(0*1)-0*0, 0*0-1*0) = (1, 0, 0)

 

 

 2) e3 x (-e1) = -e2

 

1)과 같은방식으로 해보면

e3 x e1 = e2 임을 간단히 확인가능

then,

-(e3 x e1) = -e2

then, e3 x (-e1) = -e2

 

 

 

 

3 a와b는 공간백터 a는 스카라일 경우

 

(ka) x b =k(a x b ) = a x (kb) 임을 증명하여라  

 

 

let, a = (a1, a2, a3),  b = (b1, b2, b3)

 

 

 

then, a x b = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

(ka) x b =  ( ka2b3 - ka3b2, ka3b1 - ka1b3, ka1b2 - ka2b1)

             = k(axb)

             = a x (kb)

 

증명 끝~^^