sinx+cosx=4

삼각함수 공식

을 이용하고

로 치환하면, 본질적으로

를 푸는 문제가 됩니다. 이제 z = a + ib (a, b 는 실수) 로 둡시다. 그러면 삼각함수의 덧셈정리로부터

인데, 이를 방정식 sin z = 2sqrt(2) 와 비교해보면 아래와 같은 연립방정식을 얻습니다.

여기서 두 번째 방정식으로부터 cos a = 0 이거나 sinh b = 0 이어야 함을 압니다. 그런데 후자의 경우 b = 0 여야 하고, 이 경우 z 가 실수가 되어 sin z 는 -1 과 1 사이의 실수가 되므로 해당하는 해가 존재하지 않습니다. 따라서 cos a = 0 이어야 합니다. 그러면 sin a = ±1 가 성립해야 하는데, cosh b 는 항상 양수이므로 sin a cosh b = 2sqrt(2) 가 성립하려면 sin a = 1 이고 cosh b = 2sqrt(2) 여야 합니다. 따라서

이고 (단, n 은 임의의 정수), 이를 z 에 대입한 후 x 에 대한 식으로 고치면

를 얻습니다. (참고로, 위 식의 역쌍곡코사인 값을 로그에 대한 식으로 고치면

와 같습니다. 물론 여기서 log 는 자연로그입니다.)