미분적분학 질문

주어진 곡선 \(9x = y^2 + 18\)을 x축을 중심으로 회전시켜 얻은 곡면의 넓이를 구하는 문제입니다. 이를 해결하기 위해서는 주어진 곡선을 x축을 중심으로 회전시킨 회전체의 겉넓이를 구해야 합니다.

​

1. **곡선 정리**

9x = y^2 + 18에서 y^2 = 9x - 18로 변형할 수 있습니다.

​

2. **원형 단면의 반지름 r 구하기**

곡선을 x축을 중심으로 회전시키면 회전체의 반지름 r은 y 값이 됩니다.

r = 제곱근(9x - 18)

​

3. **회전체의 겉넓이 구하기**

곡선을 x축을 중심으로 회전시키면 회전체의 겉넓이는 다음과 같이 구합니다:

S = 적분(a에서 b까지) 2π r 제곱근(1 + (dy/dx)^2) dx

​

4. **dy/dx 구하기**

주어진 곡선에서 y^2 = 9x - 18이므로,

2y (dy/dx) = 9

따라서, dy/dx = 9 / (2y)

​

5. **식 대입**

y = 제곱근(9x - 18)이므로,

dy/dx = 9 / (2 * 제곱근(9x - 18))

(dy/dx)^2 = (9 / (2 * 제곱근(9x - 18)))^2 = 81 / (4 * (9x - 18))

따라서,

1 + (dy/dx)^2 = 1 + 81 / (4 * (9x - 18)) = 1 + 81 / (36x - 72) = 1 + 9 / (4 * (x - 2))

1 + (dy/dx)^2 = 1 + 9 / (4 * (x - 2)) = (4(x - 2) + 9) / (4(x - 2)) = (4x - 8 + 9) / (4(x - 2)) = (4x + 1) / (4(x - 2))

​

6. **적분 구하기**

S = 적분(2에서 6까지) 2π * 제곱근(9x - 18) * 제곱근((4x + 1) / (4(x - 2))) dx

​

7. **적분 계산**

이 적분을 계산하면 회전체의 겉넓이는 다음과 같습니다.

S = 72π

​

따라서, 주어진 곡선을 x축을 중심으로 회전시켜 얻은 곡면의 넓이는 72π입니다.