이것 좀 풀어주세요

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이것 좀 풀어주세요

작성일 2024.01.12댓글 1건
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이 문제 좀 풀어주세요 어떻게 접근해야 하는지 모르겠습니다.


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profile_image 익명 작성일 -

20개 변량의 평균이 110, 편차 절대값 합이 2015 인 경우 중에서

표준편차가 최소가 되게 조절해 놓고 관찰해야 합니다.

​

표준편차가 최소가 되어야 합니다.

표준편차는 분산의 제곱근입니다. 분산이 최소가 되어야 합니다.

분산은 편차 제곱의 총합을 갯수인 20으로 나눈 것입니다. 편차 제곱 총합이 최소가 되어야 합니다.

​

어떤 두 수의 합이 2m으로 일정할때

두 수가 (m+d), (m-d)라고 놓으면 합은 2m으로 일정한 반면, 제곱의 합은 2(m²+d²) 으로 d에 따라 달라집니다.

둘의 제곱의 합이 최소가 되려면 d = 0, 즉, 두 수가 모두 m이 되어야 합니다.

​

20개의 편차 절대값의 합은 유지되면서 제곱의 합이 최소가 되어야 합니다.

편차 절대값을 둘씩 잡아서 위 과정을 무한히 한다고 하면

결국 모두 2015/20 이 될때 제곱의 합이 최소가 된다는 것을 알 수 있습니다.

​

(혹은 코쉬슈바르츠를 20개 항으로 사용해도 될 것입니다.)

(|b1|²+|b2|²+...+|b20|²)(1²+1²+...+1²)≥(|b1|+|b2|+...+|b20|)² 이고 우변이 상수이므로

등호 성립시 좌변이 최소값을 가짐.

등호 조건은 |b1|/1 = |b2|/1 = ...=|b20|/1 즉, 모두 2015/20일때

​

그런데 편차의 합은 0이 되어야 합니다.

그러면 b1~b10 은 -2015/20 이고 b11~b20은 2015/20 이면 됩니다.

​

이 경우 a7 - 110 = -2015/20이므로

a7 = 110 - 2015/20 = (2200 - 2015)/20 = 185/20 = 37/4 입니다.

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