공학수학2 푸리에 급수

푸리에 급수의 기본적인 원리는, 주어진 함수를 다음과 같은 무한급수로 표현하는 것입니다.

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```

f(x) = a0/2 + (an cos nx + bn sin nx)

```

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여기서, an과 bn은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

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```

an = 1/(2π) ∫_(-π)^π f(x) cos nx dx

bn = 1/(2π) ∫_(-π)^π f(x) sin nx dx

```

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질문자님께서 주신 함수는 다음과 같습니다.

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```

f(x) = 3x

```

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따라서, an과 bn은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

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```

an = 1/(2π) ∫_(-π)^π 3x cos nx dx

bn = 1/(2π) ∫_(-π)^π 3x sin nx dx

```

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an을 구하는 식에서, x를 cos nx로 변환하면 다음과 같습니다.

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```

an = 1/(2π) ∫_(-π)^π (3cos nx) cos nx dx

```

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cos nx는 cos nx * cos nx = 1/2 + 1/2 * cos 2nx의 형태로 분해할 수 있습니다. 따라서, an은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

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```

an = 1/(2π) ∫_(-π)^π (3/2 + 1/2 * cos 2nx) cos nx dx

```

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위의 적분을 계산하면 다음과 같습니다.

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```

an = 3/(4n^2) + 3/(4n) * sin 2nx

```

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bn을 구하는 식도 마찬가지로 계산하면 다음과 같습니다.

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```

bn = 3/(2π) ∫_(-π)^π (3x) sin nx dx

```

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cos nx는 cos nx * sin nx = 1/2 * sin 2nx의 형태로 분해할 수 있습니다. 따라서, bn은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

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```

bn = 3/(2π) ∫_(-π)^π (3cos nx) sin nx dx

```

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위의 적분을 계산하면 다음과 같습니다.

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```

bn = 3/(4n) * sin 2nx

```

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따라서, a0은 3/2이고, an과 bn은 모두 3/(4n) * sin 2nx입니다.

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답에는 an이 0으로 나오는데, 이는 2n = 2π일 때 sin 2nx = 0이기 때문입니다. 따라서, 2n은 1, 3, 5, ...와 같이 짝수의 정수만 가능합니다. 따라서, an은 모두 0이 됩니다.

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질문자님께서 3sinnπ/nπ를 구하신 것은, n이 홀수일 때의 an을 구하신 것으로 생각됩니다. 홀수일 때의 an은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

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```

an = 3/(4n^2) + 3/(4n) * sin 2nx

```

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n이 홀수일 때, sin 2nx는 항상 0이 아니므로, an은 3/(4n^2) + 3/(4n) * sin 2nx와 같은 값이 됩니다.