공학수학 고수님들 도와주세요~~

주어진 함수 f(x)의 주기가 4이므로, 이를 이용하여 Fourier Series를 구할 수 있습니다.

​

먼저, 함수 f(x)를 주기함수로 확장합니다.

​

f(x+4) = f(x)

​

이제, Fourier Series를 구하기 위해 다음과 같은 공식을 사용합니다.

​

f(x) = a₀/2 + Σ(aₙ*cos(nωx) + bₙ*sin(nωx))

​

여기서, a₀, aₙ, bₙ는 Fourier 계수이며, ω는 각 주파수이고, n은 주기의 배수입니다.

​

우선, a₀를 구합니다.

​

a₀ = (1/2) * ∫₋₂² f(x) dx + ∫²⁴ f(x) dx

​

= (1/2) * [∫₀² 1 dx + ∫₂⁴ 2 dx]

​

= (1/2) * [2 + 4]

​

= 3

​

다음으로, aₙ과 bₙ을 구합니다.

​

aₙ = (1/2) * ∫₋₂² f(x) * cos(nωx) dx + ∫²⁴ f(x) * cos(nωx) dx

​

= (1/2) * [∫₀² 1*cos(nπx/2) dx + ∫₂⁴ 2*cos(nπx/2) dx]

​

= (1/2) * [(2/nπ) * sin(nπ) + (4/nπ) * sin(2nπ) - (2/nπ) * sin(nπ) - (4/nπ) * sin(2nπ)]

​

= 0

​

bₙ = (1/2) * ∫₋₂² f(x) * sin(nωx) dx + ∫²⁴ f(x) * sin(nωx) dx

​

= (1/2) * [∫₀² 1*sin(nπx/2) dx + ∫₂⁴ 2*sin(nπx/2) dx]

​

= (1/2) * [(2/nπ) * (1-cos(nπ)) + (4/nπ) * (1-cos(2nπ)) - (2/nπ) * (sin(nπ)) - (4/nπ) * (sin(2nπ))]

​

= (4/nπ) * (1-cos(nπ)) - (4/nπ) * (1-cos(2nπ))

​

= (8/nπ) * sin²(nπ/2)

​

따라서, 주어진 함수 f(x)의 complex Fourier Series는 다음과 같습니다.

​

f(x) = 3/2 + Σ [(8/nπ) * sin²(nπ/2) * sin(nπx/2)]