많이 어려워서 못 풀겠어요..도와주시면 정말 감사하겠습니다.

이 문제는 미적분과 최적화 문제와 관련이 있습니다. 먼저, 상자의 부피 V가 고정되어 있다고 가정합니다.

​

상자의 형태를 정의하기 위해 변수를 사용합니다. 상자의 밑면의 길이를 L, 상자의 너비를 W, 상자의 높이를 H로 표현하겠습니다. 그리고 상자의 부피 V는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

​

V = L * W * H

​

문제에서 주어진 조건은 상자의 밑면 중 한 쪽 가장자리의 길이가 다른 쪽 가장자리의 길이보다 2배 길다는 것입니다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

​

L = 2W

​

이제 상자의 표면적을 최소화하려면 어떤 조건이 필요한지 생각해봅시다. 상자의 표면적은 다음과 같이 계산됩니다.

​

S = 2LW + 2LH + 2WH

​

이 식에서 S는 표면적을 나타냅니다. 상자의 부피 V가 고정되어 있으므로 L, W, H 중 하나를 다른 변수로 표현할 수 있습니다. 예를 들어 L을 다른 변수로 표현하면 다음과 같습니다.

​

L = 2W

​

이제 이를 이용하여 표면적을 최소화하는 문제로 바꿀 수 있습니다. 먼저 V를 L, W, H로 표현해보면:

​

V = L * W * H = (2W) * W * H = 2W^2 * H

​

이제 표면적 S를 L, W, H로 표현하면:

​

S = 2LW + 2LH + 2WH = 2(2W)W + 2(2W)H + 2WH = 4W^2 + 4WH + 2WH = 4W^2 + 6WH

​

이제 이 문제는 S를 최소화하는 문제로 바뀌었습니다. V는 고정되어 있으므로 S를 최소화하려면 S를 W와 H의 함수로 표현하고, 그 함수를 미분하여 최솟값을 구하면 됩니다.

​

S = 4W^2 + 6WH

​

이제 S를 W에 대해 미분하고, 그 미분값을 0으로 놓고 W에 대해 풀면 최적의 차원을 구할 수 있습니다.

​

dS/dW = 8W + 6H = 0

​

8W = -6H

​

W = -6H / 8

​

W = -3H / 4

​

따라서 표면적을 최소화하려면 L, W, H 중에서 L = 2W를 만족하면서 W = -3H / 4를 만족하는 값으로 설정해야 합니다. 이 값들을 사용하여 최소 표면적을 구할 수 있습니다.