고1 항등식 심화문제 질문

3-9. f(x)를 x² + 1로 나눴을 때의 몫을 Q(x)라 하면 지문으로부터 f(x) = (x² + 1)Q(x) + x + a ⇒ (x + b)f(x) = (x + b)[(x² + 1)Q(x) + (x + a)] = (x² + 1)(x + b)Q(x) + (x + a)(x + b)가 성립합니다. 그런데 (x + b)f(x)를 (x² + 1)로 나눴을 때의 나머지가 3x라 했으므로 (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab = (x² + 1) + (a + b)x + (ab - 1)을 x² + 1로 나눴을 때의 나머지, 즉 (a + b)x + (ab - 1)가 3x임을 알 수 있습니다. 따라서 a + b = 3, ab = 1이므로 a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) = 3³ - 3·1·3 = 18입니다.

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3-10. xⁿ(x² - ax + b)를 (x - 3)³으로 나눴을 때의 몫을 Q(x)라 하면 지문으로부터 xⁿ(x² - ax + b) = (x - 3)³Q(x) + 3ⁿ(x - 3)이 성립합니다. 이는 x에 대한 항등식이므로 양변에 x = 3을 대입하면 3ⁿ(9 - 3a + b) = 0 ⇔ b = 3a - 9임을 알 수 있습니다. 따라서 x² - ax + b = x² - ax + 3a - 9 = x² - ax + 3(a - 3) = [x - (a - 3)](x - 3)이므로 xⁿ[x - (a - 3)](x - 3) = (x - 3)³Q(x) + 3ⁿ(x - 3) = (x - 3)[(x - 3)²Q(x) + 3ⁿ] ⇔ (x - 3)[xⁿ{x - (a - 3)} - {(x - 3)²Q(x) + 3ⁿ}] = 0 ⇒ xⁿ[x - (a - 3)] - [(x - 3)²Q(x) + 3ⁿ] = 0이 성립합니다. 이는 x에 대한 항등식이므로 여기에 x = 3을 대입하면 3ⁿ(6 - a) - 3ⁿ = 0 ⇔ a = 5 ⇒ b = 3a - 9 = 3·5 - 9 = 6임을 알 수 있습니다.

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3-11. 최고차항의 계수가 1인 x에 대한 삼차식 f(x)가 (x - 1)²으로 나누어떨어진다고 했으므로 임의의 실수 x에 대해 f(x) = (x - 1)²(x + a)를 만족하는 실수 a가 존재합니다. 이때 f(x² - 1)을 f(x)로 나눴을 때의 몫을 Q(x)라 하면 지문으로부터 f(x² - 1) = (x² - 2)²(x² + a - 1) = f(x)Q(x) - 6x + 8 = (x - 1)²(x + a) - 6x + 8이 성립합니다. 이는 x에 대한 항등식이므로 양변에 x = 1을 대입하면 (1² - 2)²(1² + a - 1) = a = -6·1 + 8 = 2가 성립합니다. 따라서 f(x) = (x - 1)²(x + 2)입니다.