고1 수상 이차방정식 문제

일단 문제가 의미하는 내용이 무엇인지 파악하는 게 중요한 문제네요.

​

두 함수 y_1 = x와 y_2 = x+1과 같이 모든 값에 대해 y_2 - y_1 =1이 되어 y_2가 y_1보다 항상 1이 크죠.

하지만 (2)번과 같이 임의의 두 실수에 대해서는 성립하지 않습니다.

예를 들어 x_1 = 1일 때 y_1 = 1이고, x_2 = -1일 때 y_2 = 0이죠. 따라서 y_1 > y_2가 되는 x값들이 존재합니다.

따라서 (2)번 문제는 2차 함수와 같이 최대 또는 최솟값을 가지는 함수에 대해서 한 함수의 최솟값이 다른 함수의 최댓값보다 큰 것을 확인해야 하는 문제입니다.

여기까지 읽으시고 스스로 한 번 풀어보시는 게 학습에 도움이 될 것 같긴 합니다만, 질문을 주셨으니 답변까지 드리겠습니다.

​

첫번째 문제

(1) f(x) - g(x) > 0 을 만족하려면 먼저 f(x)-g(x)를 계산해야겠죠.

이므로 이것이 0보다 크려면 판별식 D/4가 0보다 작은, 즉 근이 없는(허근을 가지는) 상태이어야 합니다.

따라서 판별식을 구하면

따라서 a의 범위는

가 됩니다.

​

(2)

임의의 두 실수 x_1, x_2에 대해 항상 f > g이려면 f는 최솟값을 가지고, g는 최댓값을 가지는 함수여야 하는데 마침 두 함수가 각각 2차항의 계수가 +와 -로 f는 최솟값을 가지고, g는 최댓값을 가지는 것을 알 수 있습니다.

따라서 f와 g를 각각 완전제곱식으로 만들어 f의 최솟값, g의 최댓값을 구해봅시다.

f(x)의 최솟값은 -a^2 + 3a + 2 이고, g(x)의 최댓값은 2a가 됩니다.

따라서 항상 f(x)가 g(x)보다 크려면 -a^2 + 3a + 2 > 2a 이면 되겠죠.

정리하면

가 됩니다.

​

(1)과 (2)의 범위를 비교해보면 (1)의 범위가 (2)의 범위보다 넓죠?

(2)의 조건이 (1)의 조건보다 요구하는 내용이 많아서 범위가 좁아진 겁니다.

​

#113

주어진 함수를 정리하면

이므로 실수 전체에서의 함수의 최댓값은 x=a일 때 -1이 됩니다.

하지만 문제에서 2 ≤ x ≤ 3에서의 최댓값은 -3이라고 했으므로 a의 범위는 a < 2 이거나 a > 3이어야 합니다.

왜냐하면 a가 2 ≤ a ≤ 3 범위 안에 있게 되면 f(a) = -1이 되어 최댓값이 -3보다 크게 되어버리니까요.

따라서 두 가지 경우로 나누어 생각을 합니다.

① a < 2일 때

2차 함수의 꼭짓점이 주어진 범위의 왼쪽에 있으므로 2차 함수 f(x)는 2<x<3 범위에서 감소하고 x=2일 때 최댓값을 갖습니다.

이 되어야 합니다.

따라서 이 방정식을 a에 대하여 풀면

인데 a<2라고 했으므로 a=1이 됩니다.

​

② a > 3일 때

①과 마찬가지로 생각해보면 2차 함수의 꼭짓점이 주어진 범위의 오른쪽에 있으므로 2차 함수 f(x)는 2<x<3 범위에서 증가하고 x=3일 때 최댓값을 갖습니다.

이 되어야 합니다.

따라서 이 방정식을 a에 대하여 풀면

인데 a>3이므로 a=4가 됩니다.

​

따라서 상수 a의 값으로 가능한 값은 1과 4이므로 모든 상수 a의 곱은 4가 됩니다.

​